§ 38. Интегральные уравнения с параметром. Дифференциал Фреше. Теорема существования абстрактной неявной функции

Интегральное уравнение часто содержит один или несколько параметров. Характер вхождения параметра в уравнение оказывается существенным. В теории линейных интегральных уравнений Фредгольма мы рассматривали параметр к, входящий лишь в качестве множителя при ядре

При рассмотрении интегральных уравнений с ядрами, которые являются аналитическими функциями параметра, возможны существенные отклонения от тех закономерностей, которые имели место в фредгольмовой теории.

В качестве примера рассмотрим однородное интегральное уравнение, в котором ядро (вырожденное) есть полином первой степени относительно к:

где — некоторые непрерывные функции, причем

Применяя обычный прием решения уравнения с вырожденным ядром, находим, что данное однородное уравнение при всяком к имеет ненулевое решение

Ряд результатов в этом направлении содержится статье [6].

Обратимся к нелинейным интегральным уравнениям с параметром и постараемся выяснить зависимость решения этих уравнений от параметра.

Основные утверждения будем иллюстрировать на примере уравнения Урысона

с одним параметром к.

Уравнение (1) можно записать в виде

где — элемент банахова пространства , k — числовой параметр (для простоты), a - оператор со значениями в банаховом пространстве Предположим, что

т. е. является решением уравнения (2) при Нас будут интересовать близкие к решения уравнения (2) при близких к значениях параметра k. Если такие решения существуют, то их называют неявными функциями (абстрактными неявными функциями), определяемыми уравнением (2).

Прежде чем формулировать условие существования неявной функции, введем следующие понятия.

Пусть — линейные нормированные пространства и — абстрактная функция (оператор), определенная на с областью значений в

По аналогии с определением дифференциала функции в классическом анализе, введем определение дифференциала абстрактной функции.

Определение. Пусть — произвольный элемент пространства и пусть существует линейный по кооператор (вообще, зависящий от такой, что

где

Тогда называют сильным дифференциалом или дифференциалом Фреихе функции в данной точке отвечающим приращению аргумента, и обозначают символом

Линейный оператор I, вообще зависящий от х, обозначают Тогда

Оператор называют первой сильной производной или производной Фреше функции в точке

Равенство (4) теперь можно записать в виде

где первое слагаемое правой части есть линейная функция от (линейный оператор), а второе — более высокого порядка малости, чем при

Многие из свойств обычных производных переносятся на производные операторов. Например,

где с — числовой множитель;

Если действует из действует из то при наличии производных имеет место формула

где произведение справа понимается как произведение линейных операторов, действующих соответственно из и из в .

Пример ([19]). Пусть

и

где ядро непрерывно в квадрате функция двух переменных, определенная и непрерывная в полосе а Тогда

есть абстрактная функция (оператор Гаммерштейна), определенная в со значениями в том же пространстве.

Допустим, что функция не только непрерывна, но и имеет частную производную равномерно непрерывную в полосе а Тогда будет сильно дифференцируемой функцией. Действительно, для любой функции имеем

По теореме Лагранжа

В силу непрерывности имеем

где при т. е. при равномерно на также равномерно на (поскольку функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области равномерно непрерывна в этой области).

Поэтому

где

Далее,

Поэтому

Следовательно, согласно определению, функция дифференцируема по Фреше в каждой точке

В данном случае линейный оператор I в точке есть линейный интегральный оператор с ядром Аналогично, нелинейный оператор Урысона

где непрерывна в области а и имеет в этой области непрерывную производную дифференцируем по Фреше в каждой точке причем -

В отличие от случая пространства дифференцируемость оператора Урысона в пространстве не вытекает из непрерывной дифференцируемостн по переменной х функции Например, оператор

определен и вполне непрерывен в любом однако оператор (10) может даже не быть определен на так как

в данном случае

и эта функция может оказаться несуммируемой.

Приведем одно из условий дифференцируемости по Фреше оператора Урысона.

Пусть оператор Урысона действует в пространстве Достаточным условием его сильной дифференцируемости по Фреше в любой точке является непрерывность по х производной и выполнение неравенства

При этом производная определится равенством (10).

После этих предварительных рассмотрений возвратимся к уравнению

Справедлива следующая теорема существования абстрактной неявной функции, аналогичная известной теореме классического анализа.

Теорема 9.4. Пусть выполнены условия:

1) Оператор определен в некоторой окрестности точки

и непрерывен по совокупности аргументов вместе со своей производной Фреше в указанной окрестности.

3) Существует определенный на всем непрерывный оператор

Тогда уравнение определяет в некоторой окрестности точки единственную непрерывную неявную функцию

Доказательство. Рассмотрим оператор

непрерывный по совокупности аргументов, и покажем, что при некоторых и он является равномерно (по сжимающим оператором для Тогда он будет иметь единственную неподвижную точку

что, как нетрудно видеть, равносильно существованию единственной непрерывной неявной функции определяемой уравнением (2).

По условию оператор имеет непрерывную производную. Поэтому оператор дифференцируем по Фреше, и его производная

непрерывна по совокупности аргументов.

Так как то найдется такое, что при будет выполнено неравенство

Далее, так как то найдется такое что при откуда следует, что оператор преобразует шар в себя.

Наконец, пользуясь неравенством и аналогом теоремы Лагранжа, находим, что для рассматриваемых значений к и для любых из шара справедливо неравенство

Последнее означает, что А — сжимающий оператор.

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим интегральное уравнение Урысона

в пространстве

Будем считать, что функция непрерывна по совокупности аргументов вместе со своей производной .

Пусть непрерывная функция является решением уравнения (1) при

Уравнение (1) можно переписать в виде

причем здесь

Используя формулу (10), получаем

или

где

— линейный интегральный оператор с непрерывным ядром

Из (-видно, что оператор будет иметь обратный, если существует т. е. единица не есть характеристическое число ядра

В этом случае является резольвентой ядра Тогда все условия Горемы 9.4 будут выполнены и, следовательно, уравнение (1) будет иметь единственное непрерывное решение , близкое к при близких к значениях к. Неявная функция может быть получена как предел последовательных приближений

причем последовательные приближения в окрестности точки сходятся равномерно со скоростью геометрической прогрессии.

Можно показать, что если выполнены условия теоремы 9.4 и оператор в некоторой окрестности точки имеет все частные производные до порядка то неявная функция также имеет производные до порядка

Обратимся снова к уравнению Урысона (1). Будем считать, что

и что единица не является характеристическим числом ядра Предположим еще, что функция непрерывно дифференцируема раз по переменным .

Будем искать, решение уравнения (1) для близких к значений X по методу малого параметра.

Запишем разложение

и подставим его в уравнение (1). Получим

где

Разложим правую часть (16) по степеням

Здесь — известная функция своих аргументов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

получим уравнения

(см. скан)

Из этих уравнений видно, что

а для определения каждого из коэффициентов получается линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с ядром и со свободным членом, который выражается через уже определенные коэффициенты их Поскольку единица не является характеристическим числом ядра эти коэффициенты однозначно определяются последовательно один за другим, и мы можем построить приближенное решение уравнения (1) для значений , близких к Правда, практически эти вычисления довольно громоздки.