§ 33. Уравнение Фредгольма 1-го рода

Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода

где — известные функции, — искомая функция, также представляет трудности для изучения, существенно отличные от тех, с которыми мы встречались в теории интегральных уравнений 2-го рода.

Пусть, например, ядро есть многочлен относительно

где — многочлены относительно

Тогда левая часть (1) будет иметь вид для любой а следовательно, такой же вид должна иметь и правая часть (1), т. е. функция

Таким образом, для любой непрерывной функции решение уравнения (1), вообще говоря, не существует при сколь угодно «хорошем» ядре

Рассмотрим, например, простейшее интегральное уравнение 1-го рода

с ядром

Очевидно, что в классе интегрируемых (в частности, непрерывных) функций это уравнение не имеет решений. Пусть ядро уравнения (1) симметричное.

В силу теоремы Гильберта — Шмидта для существования решения уравнения (1) необходимо, чтобы функция разлагалась по собственным функциям ядра

При выполнении этого условия решение уравнения (1) можно искать в виде

Подставляя (3) в (1) и сравнивая с (2), получим откуда, Если мы хотим, чтобы решение принадлежало надо наложить на дополнительное требование.

Теорема 7.1 (Пикара). Интегральное уравнение 1-го рода с замкнутым симметричным ядром

где

имеет, и притом единственное, решение в классе тогда и только тогда, когда ряд

сходится.

Здесь — характеристические числа ядра — коэффициенты Фурье функции относительно собственных функций этого ядра:

Симметричное ядро называется замкнутым в если каждая функция удовлетворяющая тождеству

равна нулю почти всюду на Замкнутое ядро характеризуется тем, что собственные функции ядра образуют полную в ортогональную систему функций.

Доказательство теоремы 7.1. Предположим, что существует решение уравнения (1). Тогда будем иметь

Здесь мы воспользовались тем, что в силу (1)

а также тем, что в силу симметричности ядра

равенство (6) может быть записано в виде

откуда видно, что числа являются коэффициентами Фурье функции Как известно, ряд (4) из квадратов этих коэффициентов необходимо должен быть сходящимся.

Предположим, обратно, что ряд (4) сходится. Тогда в силу теоремы Фишера — Рисса ([19]) существует функция , и притом единственная, для которой числа являются коэффициентами Фурье по системе функций т. е. выполняются равенства (7) для всех Эта функция удовлетворяет данному интегральному уравнению. Действительно, в силу самого построения функции имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы собственных функций ядра

Следовательно, функции тождественны (в метрике

Если ядро не является замкнутым, то решение уравнения (1) не единственно. Пусть — не равные нулю почти всюду функции такие, что

Тогда, если — решение уравнения (1), то функция

где — произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения. В случае вырожденного ядра решение уравнения (1) может содержать бесконечное число произвольных постоянных.

Требование замкнутости ядра является существенным не только для единственности решения

уравнения (1), но и вообще для разрешимости этого уравнения. Если отказаться от требования замкнутости, то среди уравнений вида

где — заданная непрерывная функция, не ортогональная ко всем — любая непрерывная функция, ортогональная ко всем можно найти неразрешимые уравнения.

Рассмотрим, например, уравнение

Оно имеет очевидное решение Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решениями уравнения будут также функции

где и величины а, Р — любые действительные числа, удовлетворяющие условию а С другой стороны, уравнение

очевидно, неразрешимо.

Для решения некоторых интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода можно применять метод последовательных приближений ([43]).

Теорема 7.2. Пусть — симметричное положительно определенное -ядро, и пусть уравнение

однозначно разрешимо.

Тогда последовательность определяемая рекуррентным соотношёнием

где

— наименьшее характеристическое число ядра сходится в среднем к решению уравнения (1).

В самом деле, полагая в равенстве (8)

приведем его к виду

Умножим обе части (8) на собственную функцию ядра и проинтегрируем по от а до Получим

где

Используя симметричность ядра и то, что

находим

Таким образом, из (10)

Рассмотрим интеграл

В силу полноты системы функций имеем

На основании неравенства (9)

)

и потому для любого можно указать такой номер что при

Таким образом, мы приходим к неравенству

которое означает, что последовательность сходится в среднем к решению уравнения (1). Рассмотрим опять уравнение

не предполагая теперь ядро симметричным. Применим к его решению общий метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода — разложение искомой функции по некоторой полной системе функций. Он оказывается, вообще, хорошо приспособленным к решению интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

Будем искать решение уравнения (1) в виде

где функции образуют некоторую полную систему на интервале — некоторая весовая функция, которую следует выбирать близкой к и тем самым улучшить сходимость ряда (11). Если о решении мало что известно, то можно положить

Подставляя в форме (11) в уравнение (1), будем иметь

или

где — известные функции:

Таким образом, решение интегрального уравнения сводится к нахождению коэффициентов по известным функциям

Это особенно просто делается в двух случаях:

1) Если функции то правая часть (12) оказывается степенным рядом, так что неизвестные коэффициенты можно определить путем сравнения коэффициентов этого ряда с соответствующими коэффициентами в разложении по степеням

2) Если функции образуют ортогональное с весом семейство на интервале

то коэффициенты легко определяются из (12) по формулам

где

К сожалению, чаще функции не являются ни степенями ни элементами ортогональной системы и определение коэффициентов бывает сопряжено порой с большими техническими трудностями. С некоторыми методами отыскания можно познакомиться в [23].

В качестве примера, иллюстрирующего изложенный метод, рассмотрим случай

Это имеет место, когда ядро интегрального уравнения является производящей функцией для семейства ортогональных полиномов. Напомним, что функция называется производящей для системы функций

если

т. e. если функции получаются в результате разложения в ряд по степеням Как известно ([23]), производящую функцию для полиномов Эрмита можно записать в виде

Это разложение можно применить для решения интегрального уравнения

Задачи такого типа возникают в вопросах о распространении тепла, когда искомым является первоначальное

распределение источников, порождающее некоторое заданное распределение температуры. Положим

Используя разложение (14) ядра уравнения (15) и тот факт, что

Приводим уравнение (15) к виду

Отсюда

и, следовательно, решение уравнения (15) имеет вид