§ 15. Интегральные уравнения с ядром, имеющим слабую особенность

1°. Весьма часто встречаются интегральные уравнения Вольтерра с ядром вида

где некоторая непрерывная функция. К числу таких уравнений относится, например, уравнение Абеля (см. введение)

( — искомая функция).

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра рода с ядром вида (1):

При квадрат такого ядра не является интегрируемым, но тем не менее уравнение (2) может быть решено. В самом деле, последовательные итерированные ядра начиная с некоторого номера не только являются -ядрами, но даже ограничены. Покажем это. Согласно формуле (24) § 13

Сделаем подстановку

Тогда

или, короче, где — ограниченная функция, так как интеграл в правой части (3) сходится при

Последовательно находим

где некоторые ограниченные функции. формул (4) видно, что все ядра ограничены, если

С другой стороны, уравнение

всегда может быть приведено к аналогичному уравнению с ядром или путем композиции (свертывания) обеих частей уравнения с функцией

или

В силу уравнения

так что (5) принимает вид

где

Последовательно получаем

где

В результате конечного числа шагов мы придем к уравнению Вольтерра с ограниченным ядром и правой частью решив которое, получим решение исходного уравнения (2). Аналогичное преобразование применимо также к интегральным уравнениям первого рода, в частности к интегральному уравнению Абеля

Из формулы (3), применительно к уравнению (7), сразу получаем

Поэтому композиция уравнения (7) с его ядром дает

откуда получаем изумительно простое решение уравнения (7):

Если предположить, что функция дифференцируема, то, проведя интегрирование по частям в (8), а затем

продифференцировав полученное выражение, найдем

В частности, при

Соотношения (7) и (10) можно рассматривать как формулы обращения, аналогичные формулам обращения Фурье. И те и другие послужили источником многочисленных формул обращения для определенных интегралов. Основой всех таких формул служит то, что для интегральных уравнений 1-го рода формула решений сама имеет вид интегрального уравнения 1-го рода.

Обобщенное уравнение Абеля

также легко решается при помощи композиции с ядром

Упражнение. Показать, что решением уравнения (11) является функция

2°. Как и в случае интегрального уравнения Вольтерра (2), вместо интегрального уравнения Фредгольма

можно рассматривать аналогичное уравнение с итерированным ядром

где

Этот прием позволяет устранять некоторые особенности ядра, так как итерированные ядра, как правило, более гладкие, чем исходное ядро. Так, если ядро уравнения (12) имеет вид

то итерированное ядро имеет такую же структуру, но число а заменяется при этом числом , которое отрицательно при достаточно большом так что для таких ядро ограничено.

Действительно, пусть

Тогда в результате свертывания (композиции) получаем

откуда

Подстановка преобразует интеграл в правой части (15) к виду

что приводит к оценке

где - постоянные. (Для -мерных интегралов справедлив аналогичный результат, только в оценках (16) вместо надо поставить )

Отсюда следует, что ядро имеет особенность порядка , если это число положительно; — особенность порядка и при достаточно большом число будет отрицательным, так что ядро будет уже ограниченной функцией.

Упражнение. Показать, что если есть характеристическое число ядра то будет характеристическим числом ядра

Для интегральных уравнений Фредгольма с ядрами, имеющими слабую особенность, справедливы теоремы Фредгольма, приведенные в § 14.