§ 42. Принцип неподвижной точки Ю. Шаудера

При изложении принципа сжатых отображений мы отмечали, что существование решения многих уравнений эквивалентно существованию неподвижной точки у соответственно подобранного отображения некоторого множества точек в себя.

Теорема С. Банаха о неподвижной точке у сжимающего отображения позволила нам получить ряд результатов, касающихся однозначной разрешимости различных типов интегральных уравнений.

Следует отметить, что применение принципа сжатых отображений к нелинейным интегральным уравнениям практически ограничивается случаями, - когда функция удовлетворяет условию Липшица по функциональному аргументу

Приведем еще одну теорему позволяющую гарантировать существование по крайней мере одного решения для весьма широкого класса уравнений.

Теорема 9.7 (Ю. Шаудера). Если вполне непрерывный оператор А отображает ограниченное замкнутое выпуклое множество банахова пространства Е на свою часть, то существует неподвижная точка этого отображения, т. е. такая точка что

Напомним понятие выпуклости. Пусть — линейное действительное пространство и х, у — две его точки. Назовем отрезком в , соединяющим точки х и у, совокупность всех элементов вида

Определение. Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками х и у содержит и соединяющий их отрезок.

Так, круг (рис. 17, а) есть выпуклое множество, а фигура на рис. 17, б — невыпуклое.

Еще пример. Рассмотрим в пространстве функций непрерывных на множество М функций, удовлетворяющих условию

Это множество выпукло. Действительно, если

то при имеем

т. е. функция что и означает, согласно определению, выпуклость указанного множества М непрерывных функций.

Рис. 17.

Упражнение. Показать, что в линейном нормированном пространстве всякий шар есть выпуклое множество.

В качестве примера применения принципа Шаудера рассмотрим классическую теорему Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения

Теорема 9.8. Пусть функция непрерывна по совокупности, переменных в области — максимум в этой области. Если то на отрезке существует по крайней мере одцо решение уравнения

удовлетворяющее условию

Доказательство. Уравнение (1) с начальным условием (2) эквивалентно интегральному уравнению

Рассмотрим оператор А, определенный равенством

в пространстве на шаре который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.

Оператор А вполне непрерывен на этом шаре. В самом деле, если последовательность принадлежащая шару равномерно сходится к функции то в силу непрерывности функции

равномерно на . При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что

т. е. оператор А непрерывен на шаре

Далее, для любого элемента

т. е. множество значений оператора А равномерно ограничено.

Если и -любые точки отрезка то для любой функции будем иметь

т. е. множество равностепенно непрерывно.

В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор А преобразует шар в компактное множество.

Эго доказывает полную непрерывность оператора А. (Напомним, что мы называем нелинейный оператор А вполне непрерывным на некотором множестве, если он 1) непрерывен, 2) переводит это множество в компактное. В теории линейных операторов принято несколько отличное определение: линейный оператор называют вполне непрерывным, если он переводит любое ограниченное множество в компактное (непрерывен он по самому своему определению).

Покажем, наконец, что оператор А преобразует шар в себя. -

Действительно,

Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера, и, значит, существует неподвижная точка этого оператора, т. е. такая функция что

Эта функция будет решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию (2).

Теорема доказана.

Подчеркнем, что принцип Шаудера не гарантирует единственности решения (известны простые примеры дифференциальных уравнений вида (4) с непрерывной правой частью, имеющих бесконечное множество решений, удовлетворяющих заданному начальному условию). Кроме того, этот принцип не дает указаний, как построить это решение. Тем не менее он оказывается подчас единственным критерием, позволяющим судить о существовании решения уравнения.

Теорема Пеано тем же методом может быть обобщена в различных направлениях: например, можно ослабить условия на отказавшись от ее непрерывности;

вместо одного уравнения можно рассматривать систему конечного и даже счетного числа уравнений.

Например, справедлива

Теорема 9.9 (А. Н. Тихонова). Пусть дана счетная система дифференциальных уравнений

- причем функции непрерывны по всем переменным в некоторой области изменения переменных и равномерно ограничены для этих значений переменных. Тогда система (6) имеет по крайней мере одно решение, удовлетворяющее условиям

В качестве еще одного примера использования теоремы Шаудера рассмотрим задачу о разрешимости уравнения Гаммерштейна

с непрерывным симметричным ядром. Пусть непрерывна и ограничена при а и пусть Обозначая правую часть (7) через замечаем, что оператор А вполне непрерывен. Используя оценку (см. выше, стр. 264)

находим

(Нормы берутся в — наименьшее по модулю характеристическое число ядра )

Поэтому, если в качестве ограниченного замкнутого выпуклого множества взять шар в с центром в нуле и радиусом, равным правой части (8), то будут выполнены все условия теоремы Шаудера.

Следовательно, уравнение при сделанных предположениях имеет по крайней мере одно решение

При применении принципа Шаудера к изучению конкретных уравнений прежде всего нужно выбрать пространство Е, в котором оператор А вполне непрерывен.

За выпуклое множество обычно принимают некоторый шар пространства Е. При этом радиус и центр этого шара нужно подобрать так, чтобы оператор А отображал этот шар в себя.

Пусть, например, вполне непрерывный оператор А обладает свойством

а — постоянные).

Если существует число удовлетворяющее условию

то к оператору А в шаре с центром в нуле 0 и радиусом применим принцип Шаудера.

Такое число всегда существует при и при