§ 36. Сингулярные интегральные уравнения. Преобразования Гильберта

Мы показали (см. § 15), что интегральное уравнение Фредгольма с ядром имеющим слабую особенность

может быть преобразовано в уравнение Фредгольма с ограниченным ядром. При этом весьма существенно предположение, что

Если ядро имеет неинтегрируемые особенности, то соответствующий интегральный оператор теряет свойство полной непрерывности и само определение интегрального оператора нуждается в уточнении.

Во многих прикладных задачах, в частности в аэродинамике, приходится иметь дело с ядрами, у которых . В этом случае интеграл в уравнении следует понимать в смысле главного значения по Коши.

Главным значением по Коши несобственного интеграла по отрезку от функции не ограниченной в окрестности точки называется предел (если он существует)

Для его обозначения применяют символы

Интегралы в смысле главного значения иногда называют особыми или сингулярными интегралами.

Рассмотрим пример. Пусть где Тогда

Ясно, что предел этой суммы при независимом стремлении к нулю не существует, т. е. не существует несобственный интеграл Положим Тогда предел выражения (I) при существует и есть по определению главное значение несобственного интеграла

Будем говорить, что функция удовлетворяет на отрезке условию Гёльдера, если при любых имеет место неравенство

где — некоторые положительные постоянные. При это условие совпадает с условием Липшица. Мы будем предполагать, что . Ясно, что функция, удовлетворяющая условию Гёльдера на , непрерывна на этом отрезке. Справедливо следующее утверждение.

Если функция удовлетворяет на отрезке условию Гёльдера, то для любого интеграл (сингулярный интеграл Коши) существует в смысле главного значения.

Действительно,

В силу условия Гёльдера

поэтому первый интеграл в правой части (III) существует как несобственный. Второй интеграл существует в силу

формулы (II). Отсюда следует, что интеграл существует в смысле главного значения, причем

Сингулярным интегральным уравнением будем называть уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак сингулярного интеграла.