§ 12. Обратные операторы

Важным понятием является понятие обратного оператора. Согласно общему определению обратного элемента кольца с единицей, оператор В называется левым обратным для линейного оператора А, если

Точно так же оператор С называется правым обратным для оператора А, если

Если оператор А имеет левый обратный В и правый обратный С, то они равны:

В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный оператор Таким образом, если существует, то

С понятием обратного оператора связаны вопросы о существовании и единственности решения операторных уравнений вида

где — известный элемент пространства — искомый элемент того же пространства.

К уравнениям вида (1) относятся линейные алгебраические системы, линейные дифференциальные, линейные интегральные и другие линейные уравнения.

Рассмотрим уравнение (1) и предположим, что оператор А имеет обратный Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что

есть решение уравнения (1). Нетрудно показать, что это решение единственно.

Рассмотрим два линейных ограниченных оператора А и В, отображающих линейное нормированное пространство Е в себя. Тогда имеет смысл произведение операторов. Покажем, что

Действительно, для любого

Следовательно,

что и доказывает утверждение.

Имеет место важная для дальнейшего теорема. Теорема 3.3. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает банахово пространство Е в себя и Тогда оператор , где — единичный оператор, имеет обратный линейный ограниченный оператор.

Доказательство. В пространстве операторов рассмотрим ряд

Так как , вообще, то для частичных сумм ряда (5) будем иметь

По условию , значит, величина в правой части (6) стремится к нулю при для любого Поэтому последовательность частичных сумм ряда (5) сходится в себе, а значит, в силу полноты пространства операторов, она сходится к некоторому пределу. Таким образом, ряд (5) сходитея.

Пусть оператор — сумма этого ряда. Имеем

Аналогично находим, что

Следовательно,

Известно, что если линейный оператор В имеет обратный то оператор также линеен. Поэтому оператор линейный, как обратный линейному. Кроме того, он ограничен, так как

Итак, оператор линейный ограниченный оператор. При этом