II. Нелинейные уравнения

Нелинейные интегральные уравнения настолько разнообразны, что даже их классификация затруднительна. Укажем некоторые типы таких уравнений, имеющие большое теоретическое и прикладное значение,

1°. Уравнение Урысона

Функция обычно предполагается непрерывенной при где — достаточно большая постоянная.

2°. Важным частным случаем уравнения Урысона является уравнение Гаммерштейна

где — фредгольмово ядро.

3°. Уравнение Ляпунова-Лихтенштейна, содержащее существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида

(могут также входить аналогичные члены с более высокой нелинейностью; подробнее см. [35]).

4°. Нелинейное уравнение Вольтерра

где например, непрерывна по совокупности аргументов в области

§ 2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям

Едва ли не первой задачей, которую можно связать с интегральными уравнениями была задача обращения интеграла

т. e. нахождения функции по данной функции Решение ее получил Фурье в в виде

Можно считать, что формула (II) дает решение интегрального уравнения (I), в котором — искомая, - данная функция, и наоборот.

Формулы (I) и (II), как известно, называются формулами обращения Фурье.

Рассмотрим, например, уравнение

где — искомая функция. Левую часть этого уравнения можно рассматривать как преобразование Фурье функции Тогда по формуле обращения

Функция есть решение данного интегрального уравнения.

К интегральным уравнениям вида (10) приводит задача для обыкновенных дифференциальных уравнений

В самом деле, пусть есть решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию (12).

Подставляя это решение в (11), получим тождество, интегрируя которое по от а до будем иметь

удовлетворяет интегральному уравнению (13). Обратно, пусть есть решение уравнения (13), т. е. такая функция, что подстановка ее в уравнение (13) обращает последнее в тождество по Дифференцируя это тождество, найдем, что

т. е. что есть решение дифференциального уравнения (11), причем из (13) видно, что Таким образом, решение интегрального уравнения (13) Эквивалентно решению задачи Коши (11)-(12).

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнении приводит к линейным интегральным

уравнениям Вольтерра 2-го рода. Этим еще в 1837 г. воспользовался Лиувилль в своих исследованиях в области линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть, например, ищется решение уравнения

при начальных условиях

Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами

при тех же начальных условиях 15), где — какая-то непрерывная функция.

Решение уравнения (16) при начальных условиях (15) может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде

Перепишем уравнение (14) в виде

и будем рассматривать правую часть как известную функцию. Тогда, воспользовавшись (17), получим

— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

Рассмотрим общую задачу сведения линейного дифференциального уравнения порядка

с начальными условиями при

к линейному интегральному уравнению Вольтерра. Будем предполагать, что коэффициенты

непрерывны в некоторой окрестности точки . Для простоты ограничимся случаем т. е. рассмотрим уравнение

Положим

Принимая во внимание начальные условия, последовательно находим

При этом мы воспользовались формулой ([48])

Учитывая (21), (22), уравнение (19) можно записать так:

Полагая

приведем (23) к виду

Это — интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Таким образом, задача (19)-(20) свелась к решению интегрального уравнения (24). Найдя это решение и подставив полученную функцию во второе соотношение в (22), получим решение исходной задачи (19)-(20). Нетрудно видеть, что если коэффициенты постоянны, то ядро соответствующего интегрального уравнения будет зависеть лишь от разности аргументов

(интегральное уравнение типа свертки).

Пример. Свести задачу Коши для уравнения

к интегральному уравнению.

Решение. Положим

Тогда

Подставляя выражения для — и в исходное дифференциальное уравнение, получим