ГЛАВА VI. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Теория симметричных интегральных уравнений, для которых может быть построена независимо от теории Фредгольма.

Мы начнем изложение с общих теорем, касающихся Симметричных линейных операторов.

§ 24. Симметричные операторы. Теорема Гильберта—Шмидта

Определение. Линейный оператор А, действующий из гильбертова пространства Н в Н, называется симметричным, если для любых

Равенство (1) показывает, что для симметричного оператора

т. е. симметричный оператор совпадает со сврим сопряженным. Поэтому симметричный оператор называют также самосопряженным оператором.

В пространстве рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

с действительным -ядром Используя теорему Фубини, имеем

где

Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной, тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.

Если ядро симметричное:

то

и оператор Фредгольма в этом случае симметричный.

Комплекснозначное ядро называется симметричным, если

Интегральное уравнение, ядро которого симметрично, будем называть симметричным интегральным уравнением.

Напомним следующие понятия, относящиеся к линейным операторам (не обязательно симметричным). Пусть имеем уравнение

где А — линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X, и X — некоторый параметр.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение

которое называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (I). Это уравнение всегда имеет решение которое называется тривиальным решением.

Допустим, что для некоторого X оператор имеет обратный называемый резольвентным оператором для уравнения (I). Для этого X уравнение (I) имеет при любом единственное решение

Однородное уравнение (II) имеет в этом случае только тривиальное решение

Определение. Значения X, при которых уравнение (I) имеет единственное решение при любом а оператор определен на всем X и ограничен, называются регулярными значениями для оператора А.

Совокупность регулярных значений называется резольвентным множеством оператора А.

Если уравнение (II) при данном X имеет, кроме, тривиального, некоторое другое решение, то такое значение X называется собственным значением оператора А, а нетривиальное решение уравнения (II) называется собственным элементом оператора А, соответствующим данному собственному значению X.

В пространстве собственный вектор линейного Оператора А есть такой вектор х, который переводится оператором А в ему коллинеарный:

единичного оператора I любой вектор х является Собственным с собственным значением 1, так как

Для оператора подобия с коэффициентом подобия а любой Ьектор х является собственным с собственным значением а, так как по определению оператора подобия

Оператор поворота на угол действующий в не имеет собственных векторов, так как, каким ни был вектор после поворота на угол мы никогда не получим вектор, коллинеарный исходному вектору.

Если X — собственное значение оператора А и уравнение (I) имеет решение при некотором то это решение будет единственным. В самом деле, если — решение уравнения (I)

— собственный элемент оператора А, отвечающий данному собственному значению X, то, согласно определению собственного элемента,

и, значит,

т. е. есть также решение уравнения (I).

Определение. Совокупность всех значений к, не являющихся регулярными, называется спектром а оператора А. В частности, все собственные значения принадлежат спектру.

Примеры 1. Пусть А — линейный оператор, действующий в и пусть есть матрица этого оператора.

Уравнение

где представляет собой систему линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными. Если определитель системы отличен от нуля, т. е. если к не есть корень уравнения то система (III) имеет при любых правых частях единственное решение и, следовательно, все такие значения параметра к регулярны. Корни уравнения образуют спектр, так как при таких к система (III) в общем случае неразрешима. При этих значениях к однородная система

имеет ненулевое решение и, значит, любая точка спектра есть собственное значение.

2. Рассмотрим в пространстве оператор умножения на независимую переменную:

Уравнение (I) принимает в этом случае вид

или

Если , то уравнение (IV) имеет при любой единственное непрерывное решение

так что все значения являются регулярными. С другой стороны, как нетрудно показать все значения являются точками спектра. При этом ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решением однородного уравнения

в пространстве является только функция . В самом деле, при любом фиксированном множитель обращается в нуль лишь при чтобы функция тождественно равнялась нулю на надо, чтобы

Рассмотрим интегральное уравнение

Обозначая

и полагая запишем уравнение в виде

откуда видно, что собственные значения оператора А, если они существуют, суть обратные величины характеристических чисел ядра

Установим некоторые свойства собственных элементов и собственных значений симметричных операторов в гильбертовом пространстве Я, аналогичные соответствующим свойствам конечномерных симметричных операторов.

1. Все собственные значения симметричного оператора А в Н действительны.

В самом деле, пусть . Тогда

откуда что может быть лишь при действительном А,

2. Собственные элементы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Действительно, если причем то

откуда что, согласно определению, означает ортогональность элементов

Отметим еще, что для симметричного оператора А величина всегда действительная. В самом деле,

что и доказывает наше утверждение.

Введем следующее понятие. Последовательность , называется слабо сходящейся к элементу если для любого

В отличие от слабой сходимости сходимость по норме в гильбертовом пространстве называют сильной сходимостью. Из сильной сходимости следует слабая; обратное, как показывают примеры, неверно.

Как известно, сфера конечномерного пространства компактна, т. е. каждая бесконечная последовательность ее элементов содержит сходящуюся подпоследовательность (принцип Больцано—Вейерштрасса). В бесконечномерных пространствах это, как мы видели, неверно. Но в конечномерных пространствах сильная сходимость совпадает со слабой, и оказывается, что свойство слабой компактности сохраняется и при переходе к бесконечномерному случаю.

Именно, всякое ограниченное множество гильбертова пространства слабо компактно, т. е. из любой последовательности элементов, принадлежащей такому множеству, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

Докажем теорему, играющую основную роль во всех дальнейших построениях.

Теорема 6.1. Всякий отличный от нулевого вполне непрерывный симметричный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве , имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение .

До казательство. Пусть симметричный вполне непрерывный, оператор, действующий в гильбертовом пространстве . Рассмотрим функционал (квадратичную форму) на единичной сфере Из курса анализа известно, что функция переменных непрерывная в замкнутой ограниченной области точек -мерного пространства (т. е. на компактном множестве), достигает в своего наибольшего и наименьшего значений.

Аналогично, поскольку сфера слабо компактна в себе, а квадратичная форма слабо непрерывна, то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений.

Пусть

(можно показать, что

По определению верхней грани найдется последовательность нормированных элементов для которой существует

равный +М или —М. Этот отличный от нуля предел обозначим Из ограниченной последовательности выделим подпоследовательность для которой существует

что возможно, так как оператор А вполне непрерывен. Поскольку

то

Но

так что

Поскольку левая часть (3) неотрицательна, то , следовательно,

откуда следует, что существует и, с учетом (2), равен Введя элемент норма которого равна единице, из (4) получаем

или

что и означает существование ненулевого собственного элемента отвечающего ненулевому собственному значению При этом

Из приведенных рассуждений ясно, что вполне непрерывный симметричный оператор А, не имеющий ненулевых собственных значений, есть нулевой оператор:

Для несимметричных операторов в -мерном пространстве верна следующая теорема: всякое линейное преобразование в n-мерном пространстве имеет хотя бы один собственный вектор.

Это утверждение не переносится на общие вполне непрерывные операторы в Н. Действительно, пусть оператор А задан в формулой

Этот оператор вполне непрерывен, но не имеет ни одного собственного элемента.

Другой пример: интегральный оператор Вольтерра в

с непрерывным ядром не имеет ни одного ненулевого собственного элемента.

Введем следующее

Определение. Подпространство называется инвариантным подпространством оператора А, если для любого имеем

Для симметричного оператора А вместе о инвариантным подпространством является также — ортогональное дополнение в Н, т. е. совокупность всех элементов , ортогональных . В самом деле, пусть и у — любой элемент Имеем

так как в силу инвариантности Таким образом, ортогонален любому элементу из что и доказывает инвариантность последнего подпространства.

Вернемся к построению спектра симметричного вполне непрерывного оператора. Пусть — подпространство, порожденное элементом т. е. совокупность элементов вида где — числовой параметр. Тогда

следовательно, — инвариантное подпространство оператора А. Тогда также инвариантное подпространство. Рассмотрим его как самостоятельное гильбертово пространство. Применяя к оператору А, действующему в рассуждения, аналогичные приведенным в теореме 6.1, заключаем, что существует элемент такой, что

При этом элемент ортогонален и

Затем рассматриваем подпространство порожденное элементами

Логически возможны два случая.

1. После шага имеем

Тогда на что возможно, лишь если на . В этом случае мы получаем, что

и

образуют систему всех собственных элементов и всех ненулевых собственных значений оператора А.

Тогда

Здесь — подпространство, порожденное элементами — подпространство нулей оператора А (т. е. совокупность элементов, отвечающих собственному значению ). Его обозначают Символ означает сумму ортогональных подпространств.

Таким образом, любой элемент может быть представлен в виде

откуда

Оператор А в этом случае конечномерный в том смысле, что он отображает гильбертово пространство Н в его конечномерное подпространство.

Пример — интегральный оператор Фредгольма с вырожденным ядром.

2. Процесс построения собственных элементов оператора может быть продолжен неограниченно. В этом случае мы получаем ортонормированную систему собственных элементов

Такая система не более чем счетна, что вытекает из следующей теоремы.

Теорема 6.2. Пусть А — вполне непрерывный симметричный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Тогда этот оператор может иметь лишь конечное число собственных значений, превосходящих

по модулю заданное число и каждому ненулевому собственному значению может соответствовать лишь конечное число линейно независимых собственных элементов.

Доказательство. Предположим, напротив, что оператор А имеет бесконечное множество собственных значений причем для всех Каждому собственному значению соответствует по крайней мере один собственный элемент причем без ограничения общности можно считать, что Совокупность таких элементов есть ограниченное множество, и так как А вполне непрерывен, то множество компактно. Учитывая ортогональность при имеем

Из этого следует, что ни последовательность ни любая ее подпоследовательность не могут сходиться, вопреки компактности множества Полученное противоречие доказывает первое утверждение. Аналогично доказывается и второе утверждение теоремы.

Следствие. Если вполне непрерывный симметричный оператор А имеет счетное множество собственных значений то

Теперь можно занумеровать все собственные значения и собственные элементы оператора А. Именно, будем нумеровать собственные значения последовательно в порядке убывания модулей, повторяя каждое собственное значение столько раз, какова его кратность (т. е. число линейно независимых собственных элементов, отвечающих этому собственному значению). Приходим к конечным или счетным системам

представляющим собой полные системы собственных значений и собственных элементов оператора А.

Пусть — подпространство, порожденное ортонормированной системой Если то так что — инвариантное подпространство оператора А. Но тогда будет также инвариантным подпространством А. Ясно, что на так как в противном случае существовал бы нормированный (ненулевой) собственный элемент оператора А, что невозможно, так как все такие элементы принадлежат Полученные нами результаты составляют содержание фундаментальной теоремы Гильберта—Шмидта.

Теорема 6.3. Для любого вполне непрерывного симметричного линейного оператора А в гильбертовом пространстве Я существует ортогональная нормированная система собственных элементов, отвечающих собственным значениям оператора А, такая, что для любого имеет место представление

При этом

где означает конечную сумму или бесконечный ряд в зависимости от числа собственных элементов оператора А, Если система бесконечна, то

Эта теорема распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве Я известный факт о приведении матрицы самосопряженного линейного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.