ГЛАВА VII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА

§ 32. Уравнение Вольтерра 1-го рода

Пусть имеем уравнение Вольтерра 1-го рода

где — известные функции, — искомая функция.

Для однозначной разрешимости интегральных уравнений 2-го рода достаточно было потребовать, например, непрерывности ядра и свободного члена При этом решение необходимо оказывается непрерывным.

При изучении уравнений (1) приходится вводить новые требования. Чтобы уяснить их необходимость, рассмотрим Простейшее уравнение этого типа, получающееся при

Если предположить, что неизвестная функция только ограничена и интегрируема, то задача оказывается неопределенной, так как в этом случае можно, не изменяя значения интеграла, произвольно менять значение функции в конечном и даже бесконечном числе точек отрезка интегрирования (точнее, на множестве меры нуль, если понимать интеграл в смысле Лебега).

С другой стороны, оказывается, что функция не может быть произвольной непрерывной функцией: она должна удовлетворять некоторым условиям, налагаемым на и ее производные. Для определенности будем считать, что решение ищется в классе функций,

непрерывных на . В таком случае, чтобы уравнение (2) имело решение необходимо, чтобы функция обращалась в нуль при и допускала непрерывную производную в Тогда искомым решением будет

Рассмотрим более общее уравнение

Чтобы это уравнение имело своим решением непрерывную функцию необходимо, чтобы функция имела непрерывные производные и чтобы сама эта функция и ее первых производных обращались в нуль при

Если эти условия выполняются, то уравнение (3) имеет своим решением непрерывную функцию

Примеры. 1. Рассмотрим интегральное уравнение вида (3):

Здесь Функция имеет непрерывные производные всех порядков, причем Применяя преобразование Лапласа и используя теорему о свертке, перейдем от данного интегрального уравнения к операторному:

откуда так что есть непрерывное решение данного уравнения.

2. Рассмотрим уравнение

Здесь опять Функция имеет непрерывные производные всех порядков, но Применяя преобразование Лапласа, найдем

откуда

где — дельта-функция.

Таким образом, уравнение (4) имеет решение, но в классе обобщенных функций.

Рассмотрим теперь уравнение

и будем предполагать, что ядро и все его частные производные нужного порядка суть непрерывные функции.

Для того чтобы уравнение (1) имело непрерывное решение необходимо выполнение условия Далее, если ядро имеет непрерывную производную то левая часть (1) также имеет непрерывную производную по откуда следует, что и должна иметь непрерывную производную

Дифференцируя обе части (1) по придем к уравнению

которому удовлетворяет решение уравнения (1), и наоборот.

Пусть не обращается в нуль ни в одной точке отрезка Деля обе части (5) на получим

Это — интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, и к нему может быть применена развитая выше теория таких уравнений.

Итак, если функции имеют непрерывные производные не обращается в нуль на то уравнение (1) имеет в интервале единственное непрерывное решение.

Если обращается в нуль в некоторой точке отрезка например в точке , то уравнение (5) обладает особыми свойствами, совершенно отличными от свойств уравнений 2-го рода. Такие уравнения, следуя Пикару, называют уравнениями 3-го рода.

Если тождественно равно нулю, то уравнение (5) есть опять уравнение 1-го рода, с которым можно поступать так же, как с первоначальным, если только имеет непрерывную производную При этом, чтобы уравнение (5) имело непрерывное решение, необходимо, чтобы была, непрерывна. Дифференцируя обе части (5) по придем к уравнению

которое является интегральным уравнением 2-го рода, если отлична от нуля на

Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не придем к производной которая при не обращается тождественно в нуль. При этом, чтобы уравнение (1) имело решение необходимо, чтобы т. е. имела бы непрерывные производные до порядка причем все они должны обращаться в нуль при

Если производная непрерывна, то непрерывной должна быть и мы приходим к уравнению

которое является интегральным уравнением 2-го рода, если не обращается в нуль на .

В этом случае уравнение (8) имеет единственное непрерывное решение, которое удовлетворяет исходному уравнению (1),

Замечание. Уравнение

может быть сведено к уравнению 2-го рода с помощью интегрирования по частям.

Положим

так что Тогда

и интегральное уравнение (1) примет вид

или

К уравнениям (1) приводят многие важные прикладные задачи. Пусть — излученный радиоимпульс, — сигнал, записанный на некотором расстоянии от точки излучения. Тогда

где — импульсная функция трассы распространения радиоимпульса, зависящая от свойств среды (грунта, влажности воздуха и т. д.).

С уравнением (11) можно связать целый цикл задач, например:

1) Известны Восстановить излученный сигнал

Вообще, уравнения 1-го рода часто встречаются в задачах, где по результатам каких-то измерений требуется восстановить исходное явление.

2) По известным входу и выходу определить Тогда мы будем знать, как влияет преобразователь радиосигнала на входной сигнал.

У пражнен и е. Во многих областях естествознания встречается задача отыскания закона распределения размеров шаровых частиц, погруженных в непрозрачную среду, по измерениям сегментов, которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями.

Обозначая через — диаметр частицы) плотность вероятности распределения диаметров частиц, получаем, что функция должна определяться из интегрального уравнения типа уравнения Абеля

где может быть найдена из наблюдений,

Показать, что решением уравнения (12) является

Указание. Положить

Уравнение (12) появляется также в теории «задачи глобулярного скопления» в астрономии (глобулярное скопление представляет собой собрание звезд, расположенных вокруг общего центра сферическими слоями постоянной плотности).