Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА VII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА§ 32. Уравнение Вольтерра 1-го родаПусть имеем уравнение Вольтерра 1-го рода
где Для однозначной разрешимости интегральных уравнений 2-го рода достаточно было потребовать, например, непрерывности ядра При изучении уравнений (1) приходится вводить новые требования. Чтобы уяснить их необходимость, рассмотрим Простейшее уравнение этого типа, получающееся при
Если предположить, что неизвестная функция С другой стороны, оказывается, что функция непрерывных на
Рассмотрим более общее уравнение
Чтобы это уравнение имело своим решением непрерывную функцию Если эти условия выполняются, то уравнение (3) имеет своим решением непрерывную функцию Примеры. 1. Рассмотрим интегральное уравнение вида (3):
Здесь
откуда 2. Рассмотрим уравнение
Здесь опять
откуда
где Таким образом, уравнение (4) имеет решение, но в классе обобщенных функций. Рассмотрим теперь уравнение
и будем предполагать, что ядро Для того чтобы уравнение (1) имело непрерывное решение Дифференцируя обе части (1) по
которому удовлетворяет решение Пусть
Это — интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, и к нему может быть применена развитая выше теория таких уравнений. Итак, если функции Если Если
которое является интегральным уравнением 2-го рода, если Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не придем к производной Если производная
которое является интегральным уравнением 2-го рода, если В этом случае уравнение (8) имеет единственное непрерывное решение, которое удовлетворяет исходному уравнению (1), Замечание. Уравнение
может быть сведено к уравнению 2-го рода с помощью интегрирования по частям. Положим
так что
и интегральное уравнение (1) примет вид
или
К уравнениям (1) приводят многие важные прикладные задачи. Пусть
где С уравнением (11) можно связать целый цикл задач, например: 1) Известны Вообще, уравнения 1-го рода часто встречаются в задачах, где по результатам каких-то измерений требуется восстановить исходное явление. 2) По известным входу У пражнен и е. Во многих областях естествознания встречается задача отыскания закона распределения размеров шаровых частиц, погруженных в непрозрачную среду, по измерениям сегментов, которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями. Обозначая через
где Показать, что решением уравнения (12) является
Указание. Положить Уравнение (12) появляется также в теории «задачи глобулярного скопления» в астрономии (глобулярное скопление представляет собой собрание звезд, расположенных вокруг общего центра сферическими слоями постоянной плотности).
|
1 |
Оглавление
|