Задача Абеля.

В 1823 г. Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришел к уравнению

где — заданная функция, а — искомая функция. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода.

Уравнение Абеля интересно в том отношении, что оно является одним из интегральных уравнений, к которым непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения).

Исторически задача Абеля представляет первую задачу, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений.

Задача Абеля состоит в следующем. Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой х, достигла оси 0? за время где — заданная функция.

Абсолютная величина скорости движущейся точки

Обозначим через угол наклона касательной к оси (рис. 2). Тогда будем иметь

(составляющая скорости по оси

Отсюда

Интегрируя по в пределах от 0 до х и полагая получим уравнение Абеля

Обозначая — через окончательно будем иметь

Здесь — искомая функция, — заданная функция.

Рис. 2.

Найдя мы можем составить уравнение искомой кривой. В самом деле, откуда Далее,

так что

Таким образом, искомая кривая определится параметрическими уравнениями

В частности, при такой кривой является циклоида.

Рассмотрим еще задачу, приводящую к интегральным уравнениям.

Пусть имеем упругую нить длины которая легко, без сопротивления, изменяет свою форму, но для увеличения длины которой на нужна сила где — некоторая постоянная (закон Гука).

Пусть концы нити закреплены в точках А и В (рис. 3).

Рис. 3.

Когда нить находится в покое под действием только горизонтальной растягивающей силы очень большой по сравнению с другими рассматриваемыми силами, положение нити будет совпадать с отрезком А В оси

Допустим, что в точке для которой приложена к нити вертикальная сила Р. Под ее влиянием нить примет форму ломаной Будем считать очень малым по сравнению с (результат малости Р по сравнению с Будем также считать, что натяжение нити осталось равным и под действием силы Р. Проектируя на вертикаль силы натяжения нити в точке С и силу Р, из условия равновесия получим

Вследствие малости величины имеем

так что условие (25) можно записать в виде

откуда

Обозначая через прогиб нити в точке с абсциссой х, получим

где

Действительно, пусть подобных треугольников находим

Следовательно,

Нетрудно видеть, что

Если на нить действует непрерывно распределенная сила с линейной плотностью (?), то на участок нити между точками действует сила, приблизительно равная которая вызывает смещение Так как смещения, обусловленные элементарными силами суммируются (принцип суперпозиции), то под действием всех нагрузок, отклонение будет приближенно равно

что при дает

Функция носит название функции влияния.

Рассмотрим следующие задачи.

1°. Будем искать плотность распределения силы влиянием которой нить примет заданную форму Тогда мы придем к интегральному уравнению фредгольма 1-го рода

относительно искомой функции

2°. Допустим, что на нить действует меняющаяся со временем сила с плотностью в точке :

Под ее влиянием нить придет в движение. Будем предполагать, что при движении нити абсцисса каждой ее точки меняется и что нить совершает периодические колебания, описываемые уравнением

Пусть — линейная плотность массы нити в точке . Тогда в момент на участок нити между точками и кроме силы действует еще сила инерции

Поэтому равенство (27) примет следующий вид:

Сокращая на и полагая

получим

Считая функцию а следовательно и заданной, приходим к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода для определения функции

В заключение приведем так называемое уравнение переноса, играющее большую роль в современной физике (например, в процессах замедления нейтронов) и представляющее собой пример интегро-дифференциального уравнения.

Будем предполагать, что нейтроны не испытывают неупругих столкновений и что энергия нейтрона достаточно мала. Пусть будет единичным вектором, определяющим направление потока нейтронов с энергией Е.

Введем безразмерную величину и, определяемую соотношением

где — начальная энергия. Обозначим через число нейтронов, координаты которых лежат между направления скоростей — между а величина энергии заключена в пределах, соответствующих значениям параметра и от и до и Все эти данные относятся к моменту времени Можно показать, что изменение со временем функции распределения нейтронов при движении потока нейтронов в направлении равно

Обозначим через среднюю длину свободного пробега нейтрона при рассеянии, а через — полную среднюю длину свободного пробега.

Число нейтронов, удаленных из потока благодаря процессам рассеяния и захвата, равно

Отнесенное к единице времени число столкновений, которые испытывают нейтроны со скоростями, определяемыми параметрами и в момент времени в точке

равно

Обозначим через вероятность того, что нейтрон, имевший до столкновения скорость, характеризуемую значениями параметров после столкновения будет иметь скорость, характеризуемую, значениями параметров Здесь — косинус угла рассеяния нейтрона. Будем считать, что функция нормирована к единице, т. е. что

точнее,

Число нейтронов, которые присоединяются к рассматриваемому потоку нейтронов в результате рассеяния, определяется выражением

где во внутреннем интеграле интегрирование ведется по всевозможным направлениям

Наконец, обозначим через

отнесенное к единице времени и единице объема число нейтронов, порожденных в точке в момент времени

Принимая во внимание уравнение непрерывности и используя выражения (31)-(35), заключаем, что функция удовлетворяет следующему уравнению переноса:

Вводя вместо функции функцию

и учитывая, что можно записать уравнение (36) в эквивалентной форме:

где

функция входит в уравнение (38) как под знаком производной, так и под знаком интеграла; уравнения такого вида называются интегро-дифферещиальными.

Основная задача теории переноса заключается в решении интегро-дифференциального уравнения (38), что в общем случае сопряжено с огромными трудностями. Подробнее об уравнении переноса см. 136].

Приведенные примеры свидетельствуют о том, что интегральные уравнения встречаются во многих задачах, как чисто математических, так и прикладных. При этом некоторые из последних, в частности задачи теории переноса, по существу требуют привлечения аппарата интегральных уравнений.

Один из создателей квантовой механики, В. Гейзенберг, в своей книге «Физика и философия» высказал предположение, что основное уравнение материи, рассматриваемое как математическое представление всей материи, должно иметь вид сложной системы интегральных уравнений.