ГЛАВА II. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Вполне элементарным и в то же время очень плодотворным приемом для доказательства теорем существования и единственности решения алгебраических, дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений является принцип, сформулированный в 1922 г, С. Банахом.

Этот принцип является функционально-геометрической обработкой идеи Пикара — метода последовательных приближений и носит название принципа сжатых отображений. Большое достоинство этого принципа состоит в том, что он не только гарантирует при определенных условиях однозначную разрешимость уравнения, но и может служить для получения приближенных решений.

§ 5. Метрические пространства

Определение. Множество М называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие неотрицательное действительное число называемое расстоянием между элементами х и у и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам метрики):

1) (аксиома тождества),

2) (аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника)

Элементы метрического пространства мы будем называть также точками этого пространства.

Примеры. 1. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство.

Справедливость аксиом 1) и 2) очевидна. Аксиома треугольника следует из неравенства

2. Множество упорядоченных совокупностей из действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство, которое называется n-мерным евклидовым пространством

Упражнение. Проверьте выполнимость аксиом метрики для этого случая.

3. Пусть М — множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке Введем метрику, полагая

Проверим выполнение аксиом метрики. Ясно, что Также очевидно, что Проверим выполнение аксиомы треугольника; Для любого имеем

Поскольку неравенство (2) верно для той

что доказывает справедливость аксиомы треугольника.

Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке в котором метрика введена указанным образом, называется пространством непрерывных функций и обозначается

Найдем, например, расстояние если на

По определению

Следовательно, надо найти наибольшее значение функции

На концах отрезка [0, 1] значения равны нулю. Находя производную и приравнивая ее нулю, получим Это — точки максимума функции причем Значит,

Рис. 6.

4. Рассмотрим опять совокупность всех (действительных) функций, непрерывных на отрезке но расстояние определим иначе, положив

Справедливость аксиом 1) и 2) метрического пространства! очевидна. Аксиома треугольника следует из интегрального неравенства Коши—Буняковского

которое получается так.

Для любого действительного

или

Положим

Тогда неравенство (4) примет вид

В левой части стоит квадратный трехчлен относительно Его неотрицательность свидетельствует о том, что он не имеет различных действительных корней, т. е. что

Это и есть неравенство Коши—Буняковского для интегралов.

Мы хотим проверить справедливость аксиомы треугольника, т. е. что

или

Положим тогда неравенство (5) перепишется так:

Используя неравенство Коши—Буняковского (4), находим

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства, получаем требуемое неравенство (6). Так определенное метрическое пространство будем обозначать и называть пространством непрерывный функций с квадратичной метрикой.

5. Пусть М — множество всех функций, интегрируемых с степенью на т. е. таких, что

где интеграл понимается в смысле Лебега ([27]). Будем говорить, что такие функции принадлежат Если то полагаем

Аксиома симметрии очевидна. Что касается аксиомы тождества, то, как нетрудно видеть, на

Тождественными считаем функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль.

Таким образом, элементами являются, по существу, не функции, а классы функций.

Аксиома треугольника следует из неравенства Минковского для интегралов (см. [19]).

Определение. Назовем шаром (соответственно замкнутым шаром) с центром в точке а и радиусом

совокупность всех точек х метрического пространства М, удовлетворяющих неравенству

Будем обозначать такой шар (соответственно ).

Примеры. 1. Пусть — трехмерное евклидово пространство. Тогда

или

Это — обычный шар радиуса с центром в точке

Рис. 7.

2. Пусть Шар — совокупность всех непрерывных на функций таких, что

и, следовательно, таких, что

Геометрически это совокупность непрерывных на функций графики которых целиком лежат в полосе шириной , образованной кривыми (рис. 7).