§ 6. Полные пространства

Определение. Последовательность элементов метрического пространства X называется сходящейся в себе или фундаментальной последовательностью, если для любого числа найдется номер такой, что

Если последовательность сходится к пределу , то она фундаментальна.

В самом деле, пусть Тогда для любого найдется номер такой, что

Отсюда

а это означает, согласно определению, что последовательность — фундаментальная.

Однако существуют метрические пространства, в которых имеются последовательности, сходящиеся в себе, но не сходящиеся ни к какому пределу (в этом пространстве).

Пусть, например, X — множество рациональных чисел, причем расстояние определяется по формуле

Тогда X — метрическое пространство.

Рассмотрим последовательность где Эта последовательность сходится и в себе, и к пределу

Возьмем теперь последовательность с общим членом

Эта последовательность сходится в себе, но не имеет предела в пространстве X, так как

не является рациональным числом.

Определение. Если в метрическом пространстве X каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства, то пространство X называется полным.

Так, пространство непрерывных на отрезке [а, б] функций с метрикой

есть полное пространство.

В самом деле, пусть дана последовательность где и пусть

Это означает, что для последовательности выполняется критерий Коши равномерной сходимости на . Пусть — предел последовательности Как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, эта функция также непрерывна на . Таким образом,

Следовательно, пространство полно.

Можно показать, что (в частности, полные пространства.

Пространство рациональных чисел, как мы видели, не является полным пространством.