§ 26. Интегральные уравнения с симметричным ядром

В пространстве рассмотрим интегральное уравнение

с симметричным -ядром не равным тождественно нулю.

Оператор

есть, как мы знаем, вполне непрерывный симметричный оператор в гильбертовом пространстве

Опираясь на результаты § 24, получаем:

1) ядро имеет по крайней мере одно характеристическое число, причем все характеристические числа действительные;

2) собственные функции, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны между собой;

3) каждому характеристическому числу может отвечать лишь конечное число линейно независимых собственных функций.

Упражнение. Пусть — характеристическое число симметричного ядра — количество отвечающих этому числу линейно независимых собственных функций. Показать, что

Применяя процесс ортогонализации, линейно независимые собственные функции, отвечающие данному характеристическому числу, можно сделать попарно ортогональными.

Процесс ортогонализации. Пусть имеем конечную или счетную систему линейно независимых функций из

(Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсйстема этой системы линейно независима.)

Процесс ортогонализации (Сонина—Шмидта) состоит в построении ортонормированной системы функций по следующему правилу:

Здесь

Деля обе части уравнения (1) на и обозначая через через придем к уравнению вида

или, в операторной форме,

где А — вполне непрерывный симметричный оператор.

К уравнению (3) мы можем применить все выводы, полученные в § 25. Именно, спектр оператора Л состоит из конечного или счетного множества значений

и если не совпадает ни с одним из них, то уравнение (3) имеет единственное решение для любой функции Это решение дается формулой

где — нормированные собственные функции ядра

При этом однородное уравнение будет иметь лишь тривиальное решение

Если совпадает с собственным значением оператора Л кратности и свободный член ортогонален собственным функциям ядра отвечающим этому собственному значению:

то уравнение (3) разрешимо, но неоднозначно. Это полностью согласуется с теоремой 3.8 Фредгольма, так как в данном случае однородные сопряженные интегральные уравнения совпадают.

Решение в этом случае дается формулой

где — произвольные постоянные.

Возвращаясь к исходным значениям параметра, имеем если собственных значений бесконечное множество, так что интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметричным -ядром всегда имеет Характеристические числа, которых не более чем счетное множество.

Из формулы (4) получаем, что решение уравнения (1) для значений К, не являющихся характеристическими, имеет вид

где Формула (6) соответственно дает

где произвольные постоянные.

Формулы (7) и называют формулами Шмидта для решения интегрального уравнения с симметричным ядром.

Если в правых частях формул (7), (8) стоят бесконечные ряды, то они, как можно показать, сходятся в среднем.

Если дополнительно предположить, что ядро удовлетворяет условию (А):

то ряд (7) будет сходиться абсолютно и равномерно. Покажем это. Будем писать всюду бесконечные ряды, поскольку в случае конечного числа собственных функций мы получаем конечные суммы, сходимость которых доказывать не надо.

Итак, пусть и пусть — коэффициенты Фурье этой функции в ее разложении в ряд по ортонормированным собственным функциям ядра

Рассмотрим ряд

и покажем, что он сходится абсолютно и равномерно. Составим отрезок ряда

( — любое).

Применяя неравенство Коши, получим

Величины можно рассматривать как коэффициенты Фурье разложения ядра рассматриваемого как функция только от в ряд по функциям

Применяя к этим коэффициентам неравенство Бесселя, будем иметь

Таким образом,

Поскольку числовой ряд сходится.

Поэтому мы можем, выбирая достаточно большое сделать правую часть последнего неравенства, независимо от меньше любого наперед заданного Таким образом, для любого существует такой номер что для всех и любого

В силу признака Коши это означает, что ряд сходится абсолютно и равномерно.

Но стоящая в формуле (7) сумма

получается из этого рйда путем умножения каждого его члена на Так как эти множители, начиная с некоторого становятся положительными и стремятся к 1 при

возрастании и той ряд, стоящий в формуле (7), сходится абсолютно и равномерно. Формулу (7) можно переписать в виде

или

где

является разрешающим ядром.

Разложение

показывает, что резольвента симметричного -ядра имеет лишь простые полюсы, отвечающие характеристическим числам этого ядра.