§ 25. Решение операторных уравнений

Рассмотрим операторное уравнение

где А — вполне непрерывный симметричный оператор, — известный элемент, .

Подставляя в (1) вместо их выражения (5) и (6) из § 24 и заменяя через получим

Рассмотрим два случая:

1. при любом I.

Умножая обе части равенства (2) скалярно на и учитывая ортогональность элементам при элементам получим

откуда

Подставляя в (2) вместо их выражение из (4), найдем

откуда

Таким образом, в силу (5) из § 24

Это есть решение уравнения (1) при Оно однозначно определяется при любой правой части откуда следует, что при существует резольвента

Таким образом, любое значение параметра А, не являющееся собственным значением, есть регулярное значение оператора А, и, значит, спектр вполне непрерывного симметричного оператора, действующего в гильбертовом пространстве, состоит лишь из собственных значений.

где — кратность собственного значения А.

При коэффициенты как и раньше, определяются по формуле (4). Для значений совпадающих с одним из чисел равенство (3) в общем случае не удовлетворяется, так как левая часть его обращается в нуль, а правая вообще не равна нулю. Чтобы уравнение (3) было разрешимо и для этих значений необходимо, чтобы т. е. чтобы свободный член уравнения (1) был ортогонален всем собственным элементам соответствующим собственному значению К. Уравнение (3) сводится тогда к тождеству и удовлетворяется при любых значениях коэффициентов Решение уравнения (1) имеет в этом случае вид

где произвольны.

Итак, во втором случае уравнение разрешимо не всегда, и если разрешимо, то решение его определяется неоднозначно. Преобразуем несколько формулу (5):

Это так называемая формула Шмидта.