§ 16. Характер решения интегрального уравнения

Как отмечалось выше (см. § 8), если искать решение уравнения

с непрерывным ядром и свободным членом в пространстве , то это решение будет необходимо непрерывным.

Пусть теперь ядро может иметь линии разрыва, а функция непрерывна. Тогда у решения могут оказаться разрывы, если линия I разрыва ядра содержит отрезки, параллельные оси

Пусть, например, линия разрыва I содержит отрезок прямой (рис. 10). В уравнении (1) интегрирование

ведется по т. е. по вертикальным отрезкам, и при переходе от к близкому значению интеграл может получить конечное приращение, что означает разрыв решения.

Рис. 10

Пусть ядро уравнения (1) не только интегрируемо с квадратом, но и удовлетворяет условию (см. [203):

Тогда справедлива

Теорема 3.12. Если свободный член уравнения (1) ограничен, а само уравнение разрешимо, то любое его решение ограничено.

В самом деле, если — ограниченная на функция, то заведомо принадлежит . Но тогда и решение уравнения (1) принадлежит Для этого решения в силу (1) имеем

Первое слагаемое правой части (2) ограничено по условию;

ограниченность второго слагаемого следует из неравенства Буняковского:

Таким образом, — ограниченная функция.

Будем говорить, что ядро непрерывно в целом, если для всякого существует такое, что для любых таких, что имеем

Укажем простые, но важные случаи, когда ядро непрерывно в целом:

1) ядро непрерывно по совокупности переменных в замкнутом квадрате (и, значит, равномерно непрерывно);

2) ядро удовлетворяющее условию разрывно в квадрате вдоль конечного числа линий не содержащих кусков прямых, параллельных оси — непрерывные функции).

Допускается также наличие конечного числа изолированных точек разрыва у ядра

Теорема 3.13. Если свободный член уравнения (1) непрерывен на отрезке а ядро непрерывно в целом, то любое решение уравнения (1) непрерывно на отрезке

В самом деле, функция непрерывная на отрезке ограничена на нем. В силу теоремы 3.12 решение уравнения также ограничено:

Возьмем любое Так как непрерывна на , найдется такое, что при будем иметь

В силу непрерывности в целом ядре для выбранного найдется такое что при

Тогда при

что и означает непрерывность решения уравнения (1), Рассмотрим уравнение со слабой особенностью

где

Можно показать, что

1) если свободный член уравнения (3) ограничен, то любое решение этого уравнения ограничено;

2) если свободный член уравнения (3) и функция непрерывны на соответственно, то любое решение этого уравнения непрерывно на