ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА

§ 3. Формулы Фредгольма

Полное исследование вопроса о разрешимости уравнения

с непрерывным ядром и свободным членом при всевозможных значениях параметра было проведено Фредгольмом в

Идея Фредгольма, замечательная по своей простоте и плодотворности, заключалась в следующем. Задача решения интегрального уравнения (1) рассматривалась как аналитический аналог алгебраической проблемы решения системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Именно, интеграл в уравнении (1) заменяется интегральной суммой, отвечающей разбиению отрезка изменения переменной на равных частей длины

Точное уравнение (I) заменяется приближенным

где в качестве можно взять, например, абсциссы середин интервалов разбиения (рис. 4).

Полагая в формуле получаем линейную алгебраическую систему относительно неизвестных

Будем считать, что сохраняют в интервале постоянные значения, равные соответственно , а ядро сохраняет в каждом частичном квадрате с индексами I и постоянное значение, равное Определитель системы (3)

есть многочлен относительно X.

Если X отлично от корня многочлена , то система (3) имеет единственное решение при любых правых частях, и это решение может быть найдено по известным формулам Крамера.

Рис. 4.

Рис. 5.

Решая ее, мы найдем все , таким образом, получим приближенное выражение искомой функции в виде кусочно-постоянной функции (Рис. 5). Метод замены интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений до сих пор широко используется в практике инженерных расчетов.

Чем больше тем точнее функция аппроксимирует искомую функцию.

В пределе при линейная система (3) переходит в интегральное уравнение (1), а переходит в искомое решение интегрального уравнения (1).

Ясно, что эти соображения носят наводящий характер и нуждаются в обосновании.

Можно поступить несколько иначе. Решив систему (3) и подставив полученные значения в формулу (2), получим приближенное аналитическое представление решения уравнения (1):

Можно показать, что если непрерывны, то числитель и знаменатель второго слагаемого в (5) при стремятся соответственно к пределам

где — некоторые целые функции от X. Полагая

получим изящную формулу

определяющую решение уравнения (1) для всех значений X, при которых .

Фредгольм построил функции в виде рядов по степеням X, полученных чисто формальным предельным переходом, и показал, что при формула (6) определяет единственное решение уравнения (1).

Доказательство того, что решение системы (3) при стремится к решению уравнения (1), было проведено позднее Гильбертом ([51]) для случая непрерывного ядра.

Найдем выражение для , используя «правдоподобные рассуждения».

Возьмем Тогда

Полагая для сокращения записи , будем иметь

где

Положим

Ясно, что есть многочлен третьей степени относительно Представим по формуле Тейлора по степеням

Из (8) следует, что

По. правилу дифференцирования определителя

так что

Таким образом, величина равна сумме определителей, получающихся из определителя (10) вычеркиванием столбца и строки. Нетрудно видеть, что

В самом деле, при определители в правой части (13) равны нулю, а определители, получающиеся один из другого перестановкой индексов равны между собой. Отсюда следует справедливость формулы (13).

Аналогично, величина может быть представлена в виде

Дифференцируя (11) по и полагая затем находим

т. е. равно сумме «определителей» первого порядка, получающихся из (10) вычеркиванием двух строк номеров и и двух столбцов с теми же номерами:

Наконец,

Таким образом,

Заменяя в получим

Совершенно аналогично получаем для любого

Заметим, что сумма

в пределе при переходит в интеграл так называемый след ядра

Точно так же при сумма

переходит в интеграл

Обозначая через предел при будем иметь

где определяются по формулам (17), причем

Покажем, что ряд (18) сходится всюду, т. е. является целой функцией X. Воспользуемся неравенством Адамара: если — определитель порядка,

то

где есть сумма квадратов элементов строки определителя

В случае это неравенство имеет простой геометрический смысл. В самом деле, считая координатами вектора , находим, что А есть смешанное произведение векторов которое по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах Величины определяют длины этих векторов, длины ребер параллелепипеда. Неравенство (19) Адамара выражает в этом случае очевидный геометрический факт: объем параллелепипеда не может быть больше произведения длин его ребер. Неравенство обращается в равенство только в том случае, когда параллелепипед прямоугольный, т. е. когда векторы а попарно ортогональны.

Доказательство неравенства Адамара можно найти, например, в [15].

Пусть для всех Тогда для получаем Следующую оценку:

Следовательно, ряд (18) допускает мажоранту

Радиус сходимости ряда (20)

Значит, ряд (18) также сходится при всех значениях V и определяет целую функцию называемую определителем Фредгольма.

Аналогично можно установить, что функция определяется рядом Фредгольма

где

причем Отметим, что

Ряд (21) сходится при всех значениях и, следовательно, есть целая аналитическая функция от Ее называют минором определителя Фредгольма.

Таким образом, резольвента Фредгольма

не зависит от и представляет собой частное двух целых аналитических функций, т. е. является мероморфной функцией от К.

В любой конечной части Я-плоскости она может иметь в качестве особых точек лишь полюсы в конечном числе.

Полюсами резольвенты могут быть только нули Верно и обратное предложение: нули суть полюсы резольвенты (131]).

Формулы Фредгольма (18) и (21) позволяют построить разрешающее ядро ) интегрального уравнения (1).

Неудобство пользования этими формулами в том, что ряды (18), (21), как правило, сложны для численных расчетов из-за кратных интегралов, определяющих коэффициенты рядов.

Значения , для которых существует резольвента уравнения Фредгольма, будем называть регулярными, а значения , для которых резольвента не существует, — характеристическими. Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты или, что то же, с нулями

Фундаментальный результат Фредгольма мы можем теперь сформулировать так:

Если значение регулярное, то интегральное уравнение

с непрерывным ядром и правой частью имеет единственное непрерывное решение, которое дается формулой

Как следствие получаем: если регулярное, то однородное уравнение

имеет только тривиальное решение

Поэтому если однородное уравнение имеет нетривиальные решения, то это возможно только тогда, когда значение Я характеристическое. Нетривиальные решения однородного интегрального уравнения называются собственными или фундаментальными функциями ядра соответствующими данному характеристическому числу.

Пример, Построить резольвенту ядра

Решение. Имеем Далее,

Нетрудно видеть, что все равны нулю, так что

и резольвента Фредгольма ядра будет равна

Резольвента аналитична во всей комплексной Я-пло-скости, за исключением точки являющейся простым полюсом резольвенты. Поэтому для всех интегральное уравнение

непрерывна на [0, 1]) имеет единственное решение

При соответствующее однородное интегральное уравнение

имеет очевидное ненулевое решение — собственную функцию ядра Легко видеть, что функции где С — произвольная постоянная, также будут собственными функциями этого ядра.

Так как есть целая функция от к, не равная тождественно нулю то, как это следует из общей теории функций, множество нулей не может иметь предельную точку в ограниченной области плоскости к.

Следовательно, в любом круге таких нулей может быть лишь конечное число. Проведем окружности в комплексной -плоскости с центром в начале и радиусами Эти окружности разобьют плоскость на счетное множество областей. В круге любого радиуса содержится конечное число нулей , значит, в каждом кольце их тоже содержится лишь конечное число. Поэтому множество всех нулей есть объединение счетного множества конечных множеств и, следовательно, не более чем счетно. Нули функции суть характеристические числа ядра так что уравнение Фредгольма (1) с непрерывным ядром имеет не более счетного множества характеристических чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.