ГЛАВА VIII. НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 35. Нефредгольмовы интегральные уравнения

Пусть имеем интегральное уравнение

Если ядро уравнения (1) интегрируемо с квадратом по основному прямоугольнику могут быть и бесконечными):

то для уравнения (1) справедливы теоремы Фредгольма.

В частности, спектр уравнения (1), т. е. множество характеристических чисел, дискретен и каждому характеристическому числу отвечает на более чем конечное число линейно независимых собственных функции (характеристические числа имеют конечную кратность).

Если условие (2) не выполнено, то у интегрального уравнения (1) спектр может быть непрерывным, т. е. характеристические числа могут заполнять целые интервалы, и могут быть характеристические числа бесконечной кратности.

Покажем это на примерах.

Рассмотрим уравнение Лалеско — Пикара

(К — действительный параметр).

Ядро этого уравнения не удовлетворяет условию (2). В самом деле,

и, как было показано во введении (см. стр. 11), этот интеграл расходится.

Если дважды дифференцируема, то интегральное уравнение (3), которое можно записать в виде

эквивалентно дифференциальному уравнению

общее решение которого имеет вид

где — произвольные постоянные, а

Для существования интеграла (3) необходимо, чтобы действительная часть была по модулю меньше единицы, т. е. чтобы X было больше нуля. Следовательно, спектр уравнения (3) есть бесконечный интервал Каждая точка этого интервала является характеристическим числом уравнения (3) кратности два: каждому отвечают две линейно независимые гладкие собственные функции Однако, как нетрудно видеть, эти функции не принадлежат классу

При собственными функциями, согласно (7), являются при имеем

Таким образом, при существуют ограниченные в собственные функции, но не принадлежащие . Из этого примера видна существенная роль класса функций, в котором ищется решение интегрального уравнения.

Так, если искать решение в классе дважды дифференцируемых функций, то все значения являются характеристическими.

Если искать решение уравнения (3) в классе ограниченных в функций, то характеристическими являются все значения

Если же решение уравнения (3) ищется в классе то при любом значении уравнение имеет лишь тривиальное решение т. е. для решений из ни одно из значений X не является характеристическим.

Рассмотрим еще пример. Пусть — непрерывная абсолютно интегрируемая на функция, имеющая на любом конечном интервале оси. конечное число максимумов и минимумов.

Построим косинус-преобразование Фурье этой функции

Тогда

Складывая эти две формулы, получим

т. е. при любом выборе функции удовлетворяющей указанным выше условиям, функция является собственной функцией интегрального уравнения

соответствующего характеристическому значению Так как — произвольйая функция, то, следовательно, при указанном значении X уравнение (8) имеет бесконечно много линейно независимых собственных функций.

Возьмем, например, Тогда

Поэтому

Подставляя в уравнение (8), будем иметь

Но

а второй интеграл в правой части (10) найдем, используя теорему Коши о вычетах, что дает

Таким образом, из (10) получаем

откуда видно, что если то функция

будет решением интегрального уравнения (8). Следовательно, есть характеристическое число уравнения (8), а функция — соответствующая собственная функция, причем, поскольку а — любое действительное число, характеристическому числу отвечает бесконечное множество линейно независимых собственных функций (9).