§ 18. Преобразование Лапласа

Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция действительного аргумента удовлетворяющая условиям:

1) интегрируема на любом конечном интервале оси (локально интегрируема).

2) Для всех отрицательных .

3) с ростом возрастает (по модулю) не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные и что для всех

Если существует число для которого выполняется неравенство (1), то оно будет выполняться и для

всех больших чисел Нижняя грань всех чисел для которых выполняется неравенство (1),

называется показателем роста функции

В дальнейшей мы, как правило, будем рассматривать непрерывные функции-оригиналы.

Изображением функции по Лапласу называется функция комплексной переменной определяемая равенством

То, что есть изображение функции будем обозначать так:

Функция определена в полуплоскости комплексной переменной и является в этой полуплоскости аналитической функцией от

В приложениях преобразования Лапласа к интегральным уравнениям большую роль играет теорема о свертке (теорема умножения).

Аналогично § 17, если функции определены для всех то сверткой этих функций называется новая функция от обозначаемая символом и определяемая равенством

если интеграл (3) существует.

Основные свойства свертки

1. Операция свертки коммутативна:

2. Для функций-оригиналов операция свертки всегда выполнима и

Действительно, произведение функций-оригиналов как функция от является финитной функцией, т. е. обращается в нуль вне некоторого конечного интервала (в данном случае вне интервала Для финитных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу (4).

3. Свертка функций-оригиналов есть снова функция-оригинал.

Теорема о свертке (теорема умножения). Если и то свертка имеет изображение

т. е. перемножение изображений равносильно свертыванию оригиналов.

В самом деле, свертка двух функций-оригиналов есть снова функция-оригинал.

Рассмотрим изображение интеграла

Справа стоит двукратный интеграл, распространенный на сектор плоскости (рис. 12). Меняя порядок интегрирования и полагая получим

что и требовалось доказать.

Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода типа свертки:

Предположим, что функции непрерывны при и являются функциями-оригиналами. Пусть

Как было доказано ранее, интегральное уравнение (7) имеет единственно непрерывное решение при любом значении X.

Рис. 12.

Для решения уравнения (7) при нетрудко получить оценку:

Таким образом, решение уравнения (7) есть также функция-оригинал.

Применяя к обеим частям (7) преобразование Лапласа и пользуясь теоремой умножения, будем иметь

откуда

Функция будет аналитической в полуплоскости так что знаменатель в (9) не может иметь корней в указанной полуплоскости. Используя формулу обращения преобразования Лапласа ([16]), находим решение интегрального уравнения (7):

(интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения).

На практике для отыскания оригинала по его изображению не всегда целесообразно использовать формулу обращения (10). Часто бывает легче найти оригинал, используя другие теоремы операционного исчисления.

Пример. Решить интегральное уравнение

Решение. Пусть Как известно,

Применяя к обеим частям (11) преобразование Лапласа, перейдем от уравнения (11) к уравнению в пространстве изображений

Решая это последнее, найдем

Оригинал для будет решением уравнения (11):

Замечание. Выражению (9) для функции можно придать вид

или

где

Решение (12) легко перевести назад в пространство оригиналов, после чего будем иметь

или

где — резольвента уравнения (7).

Указанный метод решения уравнения (7) приложим к системам интегральных уравнений Вольтерра вида

где — известные непрерывные функции-оригиналы.

Применяя к обеим частям (14) преобразование Лапласа, получим систему

Это система линейных алгебраических уравнений относительно

Пусть есть решение системы (15), Тогда система функций где будет решением системы интегральных уравнений (14).

Преобразование Лапласа может быть применено к решению нелинейных интегральных уравнений вида

Пусть Применяя к обеим частям (16) преобразование Лапласа и используя теорему умножения, получим

откуда

- операторные решения уравнения (16).

Пример. Решить уравнение

Переходя в пространство изображений, придем к уравнению

Отсюда

Из условия при выбираем

Решением интегрального уравнения будет — бесселева функция 1-го порядка.

При решении некоторых видов интегральных уравнений оказывается полезной обобщенная теорема умножения (теорема Эфроса).

Теорема 4.2. Пусть дано изображение и аналитическиефункции такие, что

тогда

Действительно, изображение правой части (18)

(предполагаем, что можно изменить порядок интегрирования). Внутренний интеграл в правой части (19) есть изображение Следовательно, используя соотношение (17), можно написать

что и требовалось показать.

Если, в частности, принять то будем иметь

и по теореме запаздывания Формула (18) принимает вид

(так как при в силу свойства функций-оригиналов), т. е. совпадает с обычной теоремой умножения.

Если как можно показать ([161),

Поэтому, если известно, что то по теореме Эфроса находим оригинал для

Если

где — бесселева функция нулевого порядка. Поэтому, если то по теореме Эфроса

Примеры. 1. Решить интегральное уравнение

Решение. Пусть Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (25), получим, используя формулу (22):

так что

откуда

Функция есть решение уравнения (25).

2. Решить интегральное уравнение

Решение. Пусть Применяя к обеим частям (26) преобразование Лапласа и учитывая теорему Эфроса, найдем

Заменяя на получим

Из (27) и (28) находим

Отсюда

Замечание. Пользуясь тем, что

и применяя теорему Эфроса, можно решать интегральные уравнения, ядро которых содержит бесселевы функции рода порядка выше нулевого.

Решение интегро-дифференциальных уравнений

Линейным интегро-дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Здесь известные функции, — искомая функция.

При решении интегро-дифференциальных уравнений (29) для искомой функции ставятся начальные условия:

Пусть в (29) коэффициенты — постоянные и пусть т. е. все зависят лишь от разности аргументов

Не нарушая общности, можно считать Тогда уравнение (29) будет иметь вид

Пусть, далее, функции суть непрерывные функции-оригиналы, и пусть

Тогда, как можно показать, функция будет также функцией-оригиналом. Пусть

Применим к обеим частям (31) преобразование Лапласа. Как известно (1161),

По теореме умножения

Поэтому уравнение (31) перейдет в следующее:

где — некоторая известная функция от Решая (32), находим операторное решение задачи Находя оригинал для получим решение интегро-дифференциального уравнения (31), удовлетворяющее начальным условиям (30).

Пример. Решить интегро-дифференциальное уравнение

Решение. Пусть Тогда, учитывая начальные условия (34), будем иметь

Применяя к обеим частям (33) преобразование Лапласа, получим

откуда

Оригиналом для этой функции будет функция

Эта последняя является решением интегро-дифференциального уравнения (33), удовлетворяющим начальным условиям (34).

Замечание. Если функции достаточно гладкие, то можно понизить порядок производных искомой функции, входящих под знаком интеграла, путем интегрирования по частям.

Интегральные уравнения вида

возникающие в ряде задач физики, также можно решать с помощью преобразования Лапласа. Установим предварительно теорему о свертке для выражений

Для преобразования Фурье

где — преобразования Фурье функций соответственно.

Положим т. е.

Тогда (37) перепишется так:

Чтобы перейти от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа, заметим, что

Здесь и в дальнейшем индексы и означают, что берется изображение функции соответственно по Фурье или по Лапласу.

Следовательно, соотношение (38) дает

Выразим теперь через преобразование Лапласа:

Итак,

где

Применяя теперь преобразование Лапласа к обеим частям (35), получим

(индекс опущен) или

Функция

будет частным решением уравнения (35),

Чтобы решение (42) или (44) имело смысл, необходимо, чтобы области аналитичности перекрывались.

Пример. Решить уравнение

Здесь . Поэтому

Операторное уравнение (42) принимает в этом случае вид

откуда

Следовательно,

Применяя теорему Коши о вычетах, находим

Нетрудно проверить, что решением уравнения (35) является функция

где решение соответствующего однородного уравнения

Заметим, что уравнение (35) сводится к дифференциальному уравнению

откуда сразу получаем