§ 27. Теорема Гильберта — Шмидта для интегральных операторов

В силу общей теоремы Гильберта — Шмидта для вполне непрерывных симметричных операторов в гильбертовом пространстве Н для всякого имеет место формула

где — коэффициенты Фурье элемента х по ортонормированной системе собственных элементов оператора А.

Эта формула показывает, что любой элемент из области значений вполне непрерывного симметричного оператора разлагается в ряд Фурье по собственным элементам этого оператора.

Рассмотрим интегральный оператор с симметричным -ядром в пространстве

Применительно к таким операторам получаем классическую теорему Гильберта — Шмидта.

Теорема 6.4. Пусть — симметричное -ядро, и пусть — произвольная функция из Тогда всякая функция представимая через ядро (истокообразно представимая функция).

разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по ортонормированным собственным функциям ядра

Здесь — характеристические числа ядра

— коэффициенты Фурье функции по системе При дополнительном условии

ряд (1) сходится абсолютно и равномерно

Если ядро непрерывно в то оператор Фредгольма переводит всякую функцию в непрерывную функцию (см. лемму на стр. 68). В этом случае все собственные функции с ненулевыми собственными значениями также непрерывны.

Теорема Гильберта — Шмидта имеет место и в пространстве т. е. для непрерывных ядер и непрерывных функций причем сходимость ряда (1) будет равномерной.

Заметим, что в теореме Гильберта — Шмидта полнота системы собственных функций не предполагается

(например, для вырожденного ядра она заведомо неполна, но может быть неполной и для невырожденных ядер).

На теореме Гильберта—Шмидта основан метод Келлога для приближенного вычисления Пусть — симметричное ядро и — произвольная функция из

Положим

и, вообще,

Используя теорему Гильберта — Шмидта, получаем

где

Если , то при больших в разложении преобладает первое слагаемое. Поэтому можно воспользоваться приближенными формулами

Формула (2) дает значение с избытком. При достаточно больших можно также пользоваться формулой

Имеет место следующий важный факт.

Пусть функция ортогональна к ортонормированным собственным функциям но не ортогональна к собственной функции Тогда последовательность имеет пределом где характеристическое число ядра