§ 30. Классификация симметричных ядер

Пусть — симметричное ядро и — функции из Рассмотрим билинейный функционал

аналогичный билинейной форме

Применяя теорему Гильберта—Шмидта, получим

где

— коэффициенты Фурье функции по ортонормированной системе собственных функций ядра

Умножая обе части последнего равенства на интегрируя по и обозначая через коэффициенты Фурье функции получим

При получаем аналог квадратичной формы

Эта формула лежит в основе классификации симметричных ядер. В силу (2) необходимым и достаточным условием положительности всех характеристических чисел является неравенство

В самом деле, если все то из равенства (2) видно, что Положим теперь, что имеется хоть одно отрицательное характеристическое число, например

Возьмем . В силу ортонормированности собственных функций получим, что все остальные

Правая часть (2) обратится тогда в и будет отрицательной, т. е. будет

Функционал и ядро обладающие свойством

называются неотрицательно определенными.

Если это неравенство является строгим для всех , функционал и ядро называются положительно определенными.

Можно показать, что для положительной определенности ядра необходимо и достаточно, чтобы все были положительны и система функций была полной.

Упражнение. Показать, что вторая итерация ядра всегда неотрвцзтелыто определенная.

Аналогичным образом, функционал и ядро называются неположительными, если

Совершенно так же, как и выше, можно показать, что условие равносильно тому, что все При этом

где — наименьшее по абсолютному значению характеристическое число.