Преобразования Гильберта

Одии из первых результатов, связанных с сингулярными интегральными операторами, представляют собой две формулы взаимности, выведенные Д. Гильбертом.

Интегральная формула Фурье может быть записана в виде

где

Интеграл в (1) формально есть предел при у 0 интеграла

а последний представляет собой вещественную часть функции

где

Мнимая часть функции есть

Полагая получаем -

или, подставляя вместо их выражения из (2),

Интеграл (7) называется сопряженным интегралом к интегралу Фурье. Он получается формально из (1) заменой на и на

Повторяя этот процесс, мы возвращаемся к исходному интегралу со знаком минус, т. е.

Таким образом, соотношение между и «косовзаимное», т. е. взаимное с точностью до знака.

Далее, имеем формально

Если — достаточно гладкая функция, то часть последнего интеграла, содержащая будет при стремиться к нулю и мы будем иметь

Аналогично

Двойственность, выражаемая формулами (8), (9), была впервые замечена Гильбертом, и две функции, связанные этими формулами, называют парой преобразований Гильберта. Формулы (8), (9) эквивалентны формулам

где означают главное значение интеграла при

Можно показать, что если удовлетворяет на условию Гёльдера и то двойственные соотношения (10) имеют место. При этом удовлетворяет тем же условиям, что и

Каждая из этих формул может рассматриваться как интегральное уравнение 1-го рода; тогда вторая формула дает решение этого уравнения.

Пусть

где — преобразование Гильберта, определяемое интегралом в (11).

Справедлива следующая теорема ([40]).

Теорема 8.1 (обращения). Если функция где то формула (11) определяет почти всюду некоторую функцию также принадлежащую - преобразование Гильберта которой почти всюду совпадает с т. е.

С помощью преобразования Гильберта (11) легко решаются в интегральные уравнения

или, символически,

Применяя преобразование Гильберта к обеим частям (14) и используя соотношение (12), получаем

Из (14) и (15) находим

или

Можно рассматривать и более сложные уравнения вида

с ядром

где например, ограниченная функция.

Преобразования Гильберта часто рассматриваются в иной форме:

где удовлетворяют условию Гёльдера на , причем

(Вместо отрезка можно брать любой фиксированный отрезок длины

Отметим следующий важный факт. Оператор Гильберта обладает тем свойством, что где — единичный оператор. В бесконечномерном пространстве оператор (а значит, и ) не является вполне непрерывным. Произведение двух вполне непрерывных операторов есть вполне непрерывный оператор. Поэтому из того, что следует, что оператор ограниченный, но не вполне непрерывный оператор.

В этом состоит глубокая причина отличия сингулярных операторов от фредгольмовых, которая влечет за собой существенно новые моменты в вопросах о разрешимости сингулярных интегральных уравнений.

Остановимся на этом несколько подробнее.

При рассмотрении уравнений Фредгольма с вырожденным ядром мы установили, что вопрос о разрешимости таких уравнений эквивалентен вопросу о разрешимости соответствующей системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Каждую такую систему можно записать в виде одного уравнения:

где — заданный вектор, — искомый вектор-решение, — линейный оператор в -мерном евклидовом пространстве определяемый матрицей системы.

Напомним основные факты из линейной алгебры, относящиеся к системе (19).

1. Уравнение (19) разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение

2. Уравнение (19) разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда сопряженное уравнение

разрешимо при любой правой части.

3. Уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений.

4. Если однородное уравнение имеет нетривиальные решения, то неоднородное уравнение (19) разрешимо Тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна ко всем решениям сопряженного однородного уравнения

Утверждения 1, 3, 4 составляют как раз содержание теорем Фредгольма, справедливых и для общих интеграла уравнений Фредгольма с -ядром (благодаря возможности аппроксимации последних конечномерными операторами). Таким образом, основные свойства фредгольмовых операторов аналогичны свойствам линейных операторов действующих в конечномерном пространстве

Рассмотрим теперь систему линейных уравнений с неизвестными при Здесь возникает несколько иная ситуация.

Записав такую систему опять в виде

замечаем, что теперь оператор следует рассматривать как оператор из -мерного пространства в -мерное пространство

В сопряженном уравнении (20):

Если, например, т. е. число неизвестных больше числа уравнений, то однородное уравнение всегда имеет нетривиальное решение независимо от того, разрешима система (19) или нет. Таким образом, свойство 1 нарушается; нарушается также свойство 2. Вместо этих свойств имеют место следующие:

1. Уравнение (19) разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение.

2, Уравнение разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение.

Изменяется и свойство 3. Если ранг матрицы равен то однородная система имеет линейно независимых решений, а сопряженная однородная система имеет таких решений. Эти числа в общем случае не равны, но их разность не зависит от (т. е. от оператора ) и равна .

Таким образом, вместо свойства 3 мы имеем теперь свойство 3.

3. Для любого уравнения (19) разность между максимальным числом линейно независимых решений одно родного уравнения и максимальным числом линейно независимых решений сопряженного ему уравнения одна и та же и равна т.

Число

называется индексом системы. Он может быть как положительным, так и отрицательным.

Свойство 4 остается в силе.

Эта ситуация, возникающая при имеет место и в вопросах разрешимости сингулярных интегральных уравнений.

Рис. 16.

Рассмотрим этот вопрос, предварительно распространив понятие главного значения на контурные интегралы. Сингулярные интегралы играют большую роль в теории функций комплексной переменной и ее приложениях (в теории упругости, гидромеханике и т. д.). Поэтому сформулируем это понятие для интегралов от функции комплексной переменной. Пусть — гладкая кривая (замкнутая или незамкнутая) и с — комплексная координата некоторой точки М на Вырежем точку М окружностью радиуса с центром в точке М (рис. 16), Оставшуюся часть контура обозначим Допустим, что функция интегрируема каково бы ни было и неограничена по модулю

при . Сингулярным интегралом (главным значением интегралег) функции по Я? называют предел (если он существует)

и обозначают его символом

Будем говорить, что функция удовлетворяет на кривой условию Гёльдера с показателем , если для любых точек кривой выполняется неравенство

Можно показать, что если удовлетворяет условию Гёльдера на то сингулярный интеграл существует для всех точек кривой кроме, может быть, ее концов.

Рассмотрим простейшее сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши:

так называемое характеристическое сингулярное уравнение. Здесь Г — гладкая замкнутая кривая без самопересечений на комплексной плоскости; коэффициенты удовлетворяют условию Гёльдера на Г, причем (невырожденный случай).

Введем понятие индекса функции. Пусть Г — гладкий замкнутый контур и — заданная на нем непрерывная функция, не обращающаяся в нуль.

Определе ни е. Индексом х функции по контуру Г называется разделенное на приращение ее

аргумента при обходе кривой Г в положительном направлении:

где символ обозначает приращение некоторой величины при обходе контура Г.

Как известно,

После обхода замкнутого контура Г величина возвращается к своему начальному значению. Поэтому

так что

Пусть непрерывно дифференцируемая функция. Тогда индекс функции можно представить в виде интеграла:

В силу непрерывности приращение аргумента при обходе контура Г должно быть кратным

Следовательно, индекс функции, непрерывной на замкнутом контуре Г и нигде не обращающейся в нуль, есть целое число или нуль.

Из определения индекса непосредственно следует, что индекс произведения функций равен сумме индексов сомножителей; индекс частного равен разности индексов делимого и делителя.

Если функция дифференцируема и представляет собой граничное значение аналитической внутри или вне контура Г функции то

т. е. индекс функции равен логарифмическому вычету функции

Из принципа аргумента вытекает следующее предложение.

Если функция аналитична всюду внутри контура Г, за исключением конечного числа полюсов, непрерывна на Г и не обращается на Г в нуль, то индекс равен разности числа нулей и числа полюсов функции внутри контура Г.

При этом нули и полюсы считаются столько раз, какова их кратность.

Пример. Вычислить индекс функции по любому замкнутому контуру Г, однократно обходящему начало координат.

Решение. Функция аналитична всюду внутри Г и имеет один нуль порядка внутри контура. Поэтому

Назовем индексом интегрального уравнения (21) индекс функции

Пользуясь формулой (24), получаем явную формулу для индекса этого уравнения:

Уравнение

получаемое перестановкой и в ядре уравнения (21), называется союзным или сопряженным уравнению (21). Оператор А называется союзным (сопряженным) оператору А. Для него индекс

Для сингулярных интегральных уравнений теоремы Фредгольма замещают теоремы Ф. Нётера ([7]).

Теорема 8.2. Разность числа линейно независимых, решений однородного уравнения и числа линейно независимых решений союзного уравнения равна индексу х оператора А:

Эта теорема выражает характернейшее свойство сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Теорема 8.3. Необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения

является выполнение равенств

где — полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения

Если индекс оператора то теорема 8.2 Нётера совпадает со второй теоремой Фредгольма. В этом случае для сингулярного уравнения оказываются справедливыми все теоремы Фредгольма. Поэтому сингулярные интегральные уравнения с нулевым индексом называют квазифредгольмовыми.

Мы предполагали, что на контуре Г. В исключительных случаях, когда для сингулярных интегральных уравнений и теоремы Нётера оказываются, вообще говоря, несправедливыми. Приведем некоторые примеры

Пусть Г — гладкий замкнутый контур, лежащий в комплексной плоскости, и пусть — область, ограниченная этим контуром. Сингулярный интеграл

с ядром Коши существует почти всюду, если суммируемая функция (это вытекает из исследований И. И. Привалова о предельных значениях интеграла типа Коши).

Пусть — произвольная точка комплексной плоскости, не лежащая на Г. Положим

Пусть Предельные значения функции рогда соответственно изнутри или извне Г,

обозначим По теореме Сохоцкого — Племеля ([16])

Пусть функция аналитична в и непрерывна в . Тогда вне Г и так что

Это означает, что есть характеристическое число сингулярного интегрального уравнения

и этому характеристическому числу соответствует бесконечное множество линейно независимых собственных функций — предельных значений на Г функций аналитических в и непрерывных в

Если аналитична вне Г и то внутри Г и так что

Это тождество означает, что уравнение (29) имеет еще одно характеристическое число которому также соответствует бесконечное множество линейно независимых собственных функций. Ими являются предельные значения на Г функций, аналитичных вне Г, обращающихся в нуль на бесконечности и непрерывных вплоть до Г. Таким образом, для уравнения (29) неверны теоремы Фредгольма и Нётера, по которым каждому характеристическому числу отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Здесь налицо исключительный случай

Приведем еще пример. Пусть Г — окружность радиуса единица с центром в начале координат, и пусть Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение

Йспользуя соотношения (28) и (30), убеждаемся, что уравнению (31) удовлетворяет функция

Это означает, что однорйдное уравнение (31) имеет нетривиальное решение при любом к таком, что т. е. всякое такое к является характеристическим числом уравнения (31).

Таким образом, совокупность характеристических чисел уравнения (31) заполняет всю внешность единичного круга т. е. является заведомо несчетным множеством.

Отметим в заключение, что сингулярное уравнение с ядром Гильберта

Приводится к уравнению с ядром Коши с помощью подстановки причем контуром Г будет окружность

Детально с вопросами, относящимися к сингулярным интегральным уравнениям, можно познакомиться, например, в книге [7] или [24].