§ 23. Уравнения Рисса—Шаудера

Уравнениями Рисса—Шаудера называют уравнения Вида

Эрде А — вполне непрерывный оператор. Такие уравнения удобно изучать в гильбертовом пространстве Я.

Пусть — линейное пространство с умножением на комплексные числа, каждой паре элементов которого поставлено в соответствие комплексное число называемое скалярным произведением элементов х и у и обладающее свойствами:

1) в частности, вещественно;

3) для любого комплексного числа X;

4) , причем

Я — линейное пространство с умножением на действительные числа, то скалярное произведение предполагается действительным.

По скалярному произведению в Я можно ввести норму

после чего Я становится линейным нормированным пространством.

Если Я бесконечномерно и. полно по введенной норме, то оно называется гильбертовым пространством (комплексным или действительным).

Таким образом, всякое гильбертово пространство является банаховым. Для любых элементов у гильбертова пространства справедливо неравенство Буняковского—Шварца:

Примеры. 1. Пространство становится гильбертовым, если положить

2. Пространство комплекснозначных функций становится гильбертовым, если положить

Определение. Два элемента х и у гильбертова пространства Н называются ортогональными, если

Сопряженный оператор

Пусть Н — гильбертово пространство и — ограниченный линейный оператор, определенный на , с областью значений в том же пространстве.

Определение. Оператор А такой, что

называется оператором, сопряженным с оператором А.

Для оператора Фредгольма ядром сопряженным оператором будет оператор Фредгольма с ядром

Оператор А не может иметь более одного сопряженного, причем сопряженность ограниченных операторов есть свойство взаимное, так что

Сопряженный оператор линеен:

(покажите это!).

Исходя из определения сопряженного оператора, нетрудно доказать, что

где — постоянная.

Можно показать, что всякий ограниченный оператор А имеет сопряженный А, который также ограничен и имеет ту же норму, что и данный оператор.

Докажем, например, равенство норм А и А. В тождестве (2) положим Будем иметь

Оценивая правую часть (3) по неравенству Буняковского—Шварца, получим

откуда

Это неравенство показывает, что оператор А ограничен и что

Полагая теперь в точно так же найдем, что . Следовательно,

Пусть в уравнении Рисса—Шаудера Это уравнение может быть решено тем же приемом, который в § 14 был применен к уравнению Фредгольма с невырожденным ядром. Именно, представляем оператор А в виде суммы операторов:

где

вырожденный (конечномерный) оператор, — оператор с достаточно малой нормой. Дальнейшие рассуждения по существу не отличаются от проведенных в § 14.

Будем называть значение К характеристическим, если однородное уравнение

имеет нетривиальные решения, которые называют собственными функциями оператора А, отвечающими данному характеристическому значению Для уравнений Рисса—Шаудера справедливы теоремы Фредгольма.

Теорема 5.2. Если значение не является характеристическим, то как уравнение (1), так и сопряженное с ним уравнение

где А — оператор, сопряженный с А, разрешимо при любом свободном члене и решение каждого из этих уравнений единственно.

Теорема 5.3. Если А, характеристическое, то однородное уравнение и сопряженное однородное

имеют одно и то же число линейно независимых собственных функций.

Теорема 5.4. Для того чтобы уравнение (1) было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член был ортоганален к любому решению однородного сопряженного уравнения (5).

Теорема 5.5. Вполне непрерывный оператор имеет не более счетного множества характеристических чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.

Для уравнений Рисса—Шаудера остается в силе альтернатива Фредгольма.