ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При рассмотрении общих свойств линейных интегральных уравнений полезно использовать некоторые результаты теории линейных операторов. Это тем более естественно, что сами интегральные уравнения послужили отправной точкой для построения общей теории линейных операторов.

§ 9. Линейные нормированные пространства

I. Линейное пространство

Определение. Пусть Е — множество элементов, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1°. Е — абелева группа относительно групповой операции сложения. Это значит, что определена сумма любых двух элементов , являющаяся элементом того же множества, причем операция сложения удовлетворяет условиям:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) существует однозначно определенный элемент 0 такой, что

4) для всякого существует однозначно определенный элемент такой, что

Элемент 0 называется нулевым элементом или нулем группы. Элемент называется элементом, противоположным

Естественно вводится операция, обратная к операции сложения элементов, которую называют вычитанием: под разностью понимают

2°. Определено умножение элементов множества Е на вещественные (комплексные) числа причем снова является элементом множества Е и выполняются условия.

1) (закон ассоциативности умножения);

2) (законы дистрибутивности).

3)

Множество Е, удовлетворяющее аксиомам называется линейным [векторным) пространством.

В зависимости от того, на какие числа, вещественные или комплексные, допускается умножение элементов множества Е, различают вещественное или комплексное линейное пространство.

Примеры. 1. Совокупность всех векторов плоскости с обычными операциями сложения векторов и умножения их на действительное число образует линейное пространство.

2. Совокупность элементов пространства с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число образует линейное пространство. Нуль этого пространства — функция на

С другой стороны, совокупность векторов на плоскости, начала которых находятся в начале координат, а концы — в пределах 1-й четверти, линейного пространства не образует, так как в пределах этой совокупности нельзя умножать на

Аналогично, класс всех монотонных на функций не образует линейного пространства с обычной операцией сложения функций.

Так, функции монотонны на но их сумма не монотонна на .

Класс всех периодических функций также не образует линейного пространства. Так, каждая из функций (а иррационально) периодическая, но их сумма есть функция непериодическая.