§ 29. Интегральные уравнения, приводящиеся к симметричным

В приложениях часто встречаются уравнения вида

где — действительное симметричное ядро и на Умножая обе части (1) на и вводя новую

искомую функцию приходим к интегральному уравнению

с симметричным ядром

Пусть — характеристические числа и собственные функции однородного уравнения, соответствующего уравнению (2). Будем считать функции ортонормированными:

Учитывая соотношение получим, что собственные функции однородного уравнения

ортонормированы с весом

Упражнение. Показать, что уравнение (I) можно привести к уравнению

с симметричным ядром путем перехода к новым переменным