§ 19. Преобразование Меллина

Пусть функция определена при положительных I и удовлетворяет условию

при надлежащем выборе числа а.

Преобразованием Меллина функции называется функция

Формула обращения преобразования Меллина имеет вид

где интеграл берется вдоль прямой параллельной мнимой оси плоскости и понимается в смысле главного значения.

Идея двойственности, выражаемая формулами (1), (2), встречается уже в знаменитом мемуаре Римана о простых числах. Строго проведена она была Меллином, и формулы (1), (2) называют формулами обращения Меллина.

Частный случай их хорошо известен:

где — гамма-функция Эйлера.

Преобразование Меллина тесно связано с преобразованиями Фурье и Лапласа, и многие теоремы, относящиеся к преобразованию Меллияа, могут быть получены из соответствующих теорем для преобразований Фурье и Лапласа путем замены переменных.

Пусть функция определена на всей оси и интеграл

сходится хотя бы на одной прямой Функцию называют двусторонним преобразованием Лапласа функции

Если обозначить через двустороннее преобразование Лапласа функции то будем иметь

— преобразование Меллина функции

Это соотношение позволяет выводить формулы преобразования Меллина из формул преобразования Лапласа.

Формула свертки для преобразования Меллина имеет следующий вид (1401):

Отсюда видно, что преобразование Меллина удобно применять при решении интегральных уравнений вида

В самом деле, пусть функции допускают преобразование Меллина и пусть

причем области аналитичности имеют общую полосу

Применяя к обеим частям уравнения (4) преобразование Меллина и используя формулу свертки (3), получим

откуда

Это — операторное решение уравнения (4). По формуле обращения (2) получаем решение этого уравнения:

В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение

Имеем

так что области аналитичности совпадают. Операторное уравнение, отвечающее уравнению (5), будет иметь вид

откуда

По формуле обращения (2) находим

Для вычисления интеграла (6) применим теорему Коши о вычетах. При в контур интегрирования включаем

полуокружность, лежащую в правой полуплоскости. В этом случае единственная особенность подынтегральной функции находится в точке в которой

Тогда

где — логарифмическая производная Г-функции в точке

При особенности подынтегральной функции суть отрицательные корни функции так что

где — значения логарифмической производной в точках

Итак,