ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга предназначена для первоначального ознакомления с основными фактами теории интегральных уравнений.

Она возникла на основе лекций, которые я читал в Московском энергетическом институте. Книга рассчитана на инженеров и студентов втузов. Для ее чтения достаточно знания математики в объеме первых двух курсов втуза. Все необходимые понятия, не встречающиеся во втузовском курсе математики, сообщаются более или менее подробно.

Знание интеграла Лебега не предполагается и не используется по существу. Встречающееся в двух-трех местах упоминание об интеграле в смысле Лебега вызвано тем, что без этого соответствующие определения расходились бы с общепринятыми. В рамках излагаемой в книге элементарной теории интегральных уравнений в качестве суммируемых функций достаточно брать функции непрерывные или же имеющие конечное число точек разрыва 1-го рода. Термин «почти всюду» достаточно понимать так: всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. То же относится и к обобщенным функциям. Предполагается, что читатель располагает лишь начальными сведениями о -функции в объеме материала, сообщаемого в § 1 гл. VI книги [16] и в первых четырех параграфах книги [47].

Ряд вопросов (разветвление решений, сингулярные уравнения и др.) затронут совсем бегло, поскольку обстоятельная трактовка их потребовала бы отдельной книги. Иногда, вместо общей постановки задачи, рассматриваются простые случаи, в которых отчетливо проступают принципиальные стороны вопроса.

Некоторые результаты излагаются на общей функциональной основе, что делает рассуждения прозрачней и

чище. Как правило, изучаются действительные решения интегральных уравнений с действительными ядрами, однако зачастую условия сформулированы так, что они годятся и для комплекснозначных ядер. В книге имеется некоторое количество упражнений, которые носят, в основном, характер утверждений и дополняют основное содержание. В книге нет приложений интегральных уравнений к задачам математической физики, нет или почти нет приближенных методов решения интегральных уравнений. Это сделано сознательно, поскольку указанные вопросы предполагается включить в подготавливаемое второе издание книги «Интегральные уравнения (задачи и упражнения)», которая будет служить как бы дополнением и продолжением предлагаемого пособия. При составлении книги я широко пользовался богатой отечественной и переводной литературой по функциональному анализу и интегральным уравнениям. Это в первую очередь относится к превосходным книгам А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина, С. Г. Михлина, А. Д. Мышкиса, Л. А. Люстерника и В. И. Соболева, Ф. Трикоми, капитальному двухтомнику Ф. Морса и Г. Фешбаха. Моей единственной заслугой (если это можно считать заслугой) является то, что из всех имевшихся в моем распоряжении книг и статей я постарался выбрать наиболее простые и короткие рассуждения.

Я глубоко признателен профессорам В. П. Громову, Э. Г. Позняку и С. И. Похожаеву, которые внимательно прочитали рукопись. Их ценные советы и благожелательная критика немало способствовали улучшению книги. Особую признательность я хочу выразить сотрудникам кафедры математики Московского института электронного машиностроения. Их большой труд по тщательной проверке рукописи и многочисленные замечания и пожелания были для меня чрезвычайно полезны. Буду счастлив, если эта книга окажется хоть сколько-нибудь полезной для изучения курса интегральных уравнений. Все замечания и пожелания, связанные с книгой, будут приняты мною с благодарностью.

М. Краснов

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Следуя Г. Кантору, будем называть множеством любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: Запись (или а А) означает, что элемент а не принадлежит множеству А.

Если Л, В — множества, то утверждение «А является подмножеством множества В» (символически означает, что каждый элемент х множества А принадлежит и множеству В; последнее равносильно импликации

При этом, если существует хотя бы один элемент , то говорят, что А есть истинное подмножество множества В.

Если и , то говорят, что А равно В или А совпадает с В, и пишут

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом 0. Любое множество А содержит 0 в качестве подмножества. В самом деле, импликация

истинна, как импликация с ложной посылкой (такого х не существует).

Пусть А, В — произвольные множества. Их суммой или объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Пересечением множеств А, В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В.

Точка называется верхней гранью множества X действительных чисел, если

1) правее нет ни одной точки множества X;

2) при любом как угодно малом найдется хотя бы одна точка , которая будет правее точки е.

Если такого числа не существует, то в качестве верхней грани X принимается

В обоих случаях верхняя грань множества X обозначается через . Например, не, принадлежит ; множество X целых отрицательных чисел имеет верхнююгрань ему принадлежащую.

Аналогично определяется нижняя грань множества X, обозначаемая .

Мерой интервала называется его длина, т. е. число

Множество Е точек на прямой имеет меру нуль, если для всякого можно найти конечную или счетную систему интервалов, покрывающую и такую, что сумма длин этих интервалов меньше е.

Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется всюду, за исключением множества меры нуль.

В дальнейшем изложении мы будем иногда пользоваться логическими символами .

Символ обозначает логическую равносильность; он заменяет слова «тогда и только тогда»;

V (квантор общности) заменяет слова «для каждого», «для Любого», «для всякого», «для всех»;

3 (квантор существования) означает «существует», «существуют», «найдется».