Главная > Интегральные уравнения. Введение в теорию
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга предназначена для первоначального ознакомления с основными фактами теории интегральных уравнений.

Она возникла на основе лекций, которые я читал в Московском энергетическом институте. Книга рассчитана на инженеров и студентов втузов. Для ее чтения достаточно знания математики в объеме первых двух курсов втуза. Все необходимые понятия, не встречающиеся во втузовском курсе математики, сообщаются более или менее подробно.

Знание интеграла Лебега не предполагается и не используется по существу. Встречающееся в двух-трех местах упоминание об интеграле в смысле Лебега вызвано тем, что без этого соответствующие определения расходились бы с общепринятыми. В рамках излагаемой в книге элементарной теории интегральных уравнений в качестве суммируемых функций достаточно брать функции непрерывные или же имеющие конечное число точек разрыва 1-го рода. Термин «почти всюду» достаточно понимать так: всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. То же относится и к обобщенным функциям. Предполагается, что читатель располагает лишь начальными сведениями о -функции в объеме материала, сообщаемого в § 1 гл. VI книги [16] и в первых четырех параграфах книги [47].

Ряд вопросов (разветвление решений, сингулярные уравнения и др.) затронут совсем бегло, поскольку обстоятельная трактовка их потребовала бы отдельной книги. Иногда, вместо общей постановки задачи, рассматриваются простые случаи, в которых отчетливо проступают принципиальные стороны вопроса.

Некоторые результаты излагаются на общей функциональной основе, что делает рассуждения прозрачней и

чище. Как правило, изучаются действительные решения интегральных уравнений с действительными ядрами, однако зачастую условия сформулированы так, что они годятся и для комплекснозначных ядер. В книге имеется некоторое количество упражнений, которые носят, в основном, характер утверждений и дополняют основное содержание. В книге нет приложений интегральных уравнений к задачам математической физики, нет или почти нет приближенных методов решения интегральных уравнений. Это сделано сознательно, поскольку указанные вопросы предполагается включить в подготавливаемое второе издание книги «Интегральные уравнения (задачи и упражнения)», которая будет служить как бы дополнением и продолжением предлагаемого пособия. При составлении книги я широко пользовался богатой отечественной и переводной литературой по функциональному анализу и интегральным уравнениям. Это в первую очередь относится к превосходным книгам А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина, С. Г. Михлина, А. Д. Мышкиса, Л. А. Люстерника и В. И. Соболева, Ф. Трикоми, капитальному двухтомнику Ф. Морса и Г. Фешбаха. Моей единственной заслугой (если это можно считать заслугой) является то, что из всех имевшихся в моем распоряжении книг и статей я постарался выбрать наиболее простые и короткие рассуждения.

Я глубоко признателен профессорам В. П. Громову, Э. Г. Позняку и С. И. Похожаеву, которые внимательно прочитали рукопись. Их ценные советы и благожелательная критика немало способствовали улучшению книги. Особую признательность я хочу выразить сотрудникам кафедры математики Московского института электронного машиностроения. Их большой труд по тщательной проверке рукописи и многочисленные замечания и пожелания были для меня чрезвычайно полезны. Буду счастлив, если эта книга окажется хоть сколько-нибудь полезной для изучения курса интегральных уравнений. Все замечания и пожелания, связанные с книгой, будут приняты мною с благодарностью.

М. Краснов

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Следуя Г. Кантору, будем называть множеством любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: Запись (или а А) означает, что элемент а не принадлежит множеству А.

Если Л, В — множества, то утверждение «А является подмножеством множества В» (символически означает, что каждый элемент х множества А принадлежит и множеству В; последнее равносильно импликации

При этом, если существует хотя бы один элемент , то говорят, что А есть истинное подмножество множества В.

Если и , то говорят, что А равно В или А совпадает с В, и пишут

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом 0. Любое множество А содержит 0 в качестве подмножества. В самом деле, импликация

истинна, как импликация с ложной посылкой (такого х не существует).

Пусть А, В — произвольные множества. Их суммой или объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Пересечением множеств А, В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В.

Точка называется верхней гранью множества X действительных чисел, если

1) правее нет ни одной точки множества X;

2) при любом как угодно малом найдется хотя бы одна точка , которая будет правее точки е.

Если такого числа не существует, то в качестве верхней грани X принимается

В обоих случаях верхняя грань множества X обозначается через . Например, не, принадлежит ; множество X целых отрицательных чисел имеет верхнююгрань ему принадлежащую.

Аналогично определяется нижняя грань множества X, обозначаемая .

Мерой интервала называется его длина, т. е. число

Множество Е точек на прямой имеет меру нуль, если для всякого можно найти конечную или счетную систему интервалов, покрывающую и такую, что сумма длин этих интервалов меньше е.

Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется всюду, за исключением множества меры нуль.

В дальнейшем изложении мы будем иногда пользоваться логическими символами .

Символ обозначает логическую равносильность; он заменяет слова «тогда и только тогда»;

V (квантор общности) заменяет слова «для каждого», «для Любого», «для всякого», «для всех»;

3 (квантор существования) означает «существует», «существуют», «найдется».

1
Оглавление
email@scask.ru