§ 4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма

Рассмотрим один частный вид интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, на примере которых отчетливо видны основное результаты фредгольмовой теории таких уравнений.

Определение. Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если его можно представить в виде конечной суммы произведений двух функций, из которых одна зависит только от , а другая только от

Будем считать, что функции так же как и функции между собой линейно независимы (в противном случае можно было бы уменьшить число слагаемых в сумме

Предположим, что функции непрерывны на отрезке изменения их аргументов; тогда

ядро будет непрерывным в прямоугольнике

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма

2-го рода с вырожденным ядром

где — непрерывная на отрезке функция. Пусть уравнение (2) имеет решение Положим

Тогда из (2) получим

откуда видно, что решение интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к определению постоянных . Заменим в равенстве (4) индекс суммирования на умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по в пределах от а до

Вводя обозначения

получим систему линейных алгебраических уравнений, которой необходимо должны удовлетворять коэффициенты

Если эта система неразрешима, то, очевидно, интегральное уравнение (2) также неразрешимо.

Пусть теперь система (6) имеет решение Подставив эти значения коэффициентов в формулу (4), получим функцию которая является решением интегрального уравнения (2), в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.

Таким образом, интегральное уравнение (2) и система линейных алгебраических уравнений (6) эквивалентны в том смысле, что разрешимость системы (6) влечет за собой разрешимость уравнения (2) и наоборот.

Определитель системы равен

есть многочлен относительно к степени не выше отличный от тождественного нуля, так как

Следовательно, имеет не более различных корней. называют определителем Фредгольма для интегрального уравнения (2), а его нули, т. е. корни уравнения называют характеристическими числами ядра или уравнения (2) (см. стр. 35).

Г. Если к не совпадает ни с одним из нулей , то система линейных уравнений (6) однозначно разрешима при любых правых частях

Значит, если к не является характеристическим числом, то интегральное уравнение (2) имеет единственное решение определяемое формулой (4), при любом свободном члене

Это — первая теорема Фредгольма.

В случае соответствующее однородное интегральное уравневне

отвечающее случаю на имеет только тривиальное решение . В самом деле, если на , то все равны нулю и система (6) будет системой однородных линейных уравнений с определителем, отличным от нуля. Такая система имеет только нулевое решение Поэтому первую теорему Фредгольма иногда формулируют так:

Для того чтобы уравнение (2) имело единственное решение при любой функции необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело только тривиальное решение

Пример. Решить интегральное уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Здесь Положим

Тогда

Умножим обе части последовательно на в проинтегрируем по от 0 до 1. Получим

или

Определитель этой системы

отличен от нуля при любых действительных X.

По формулам Крамера находим

В силу (10) имеем

(если

Если решать систему (5) по формулам Крамера, а затем определители, стоящие в числителях, разлагать по элементам столбца свободных членов, то получатся выражения вида

где — некоторые многочлены от к степени не выше

Подставляя эти выражения для в формулу (4), будем иметь

или

где

Функция есть резольвента (разрешающее ядро) интегрального уравнения (2). При фиксированных она представляет собой дробную рациональную функцию комплексной переменной К, и при любом значении К, отличном от характеристического, есть непрерывная функция

2°. Пусть теперь К совпадает с одним из нулей определителя Фредгольма т. е. является характеристическим числом ядра

Тогда определитель системы (6) будет равен нулю. Соответствующая однородная система

имеет при этом векоторое число линейно независимых ненулевых вектор-решений

Функции

будут нетривиальными решениями соответствующего однородного интегрального уравнения

Как и в общем случае уравнения с невырожденным ядром, нетривиальные решения однородного уравнения называются собственными или фундаментальными функциями этого уравнения (или ядра отвечающими данному характеристическому числу. Число линейно независимых функций, соответствующее данному характеристическому числу, называется его рангом или кратностью.

Нетрудно видеть, что если — собственные функции, отвечающие одному и тому же характеристическому числу то их сумма будет также собственной функцией, отвечающей этому же числу К. Точно так же, если — собственная функция, то где а — любая постоянная, будет собственной функцией ядра

Таким образом, собственные функции отвечающие данному характеристическому числу К, образуют линейное пространство, размерность которого равна

Общим решением однородного уравнения (15), отвечающим данному характеристическому числу, будет функция

где — произвольные постоянные.

Напомним некоторые сведения из линейной алгебры (см. [30]).

Пусть имеем квадратную матрицу порядка

( — действительные числа).

Матрица получающаяся из заменой всех ее строк соответствующими столбцами и наоборот, называется сопряженной к матрице . Так что если то

Если дана система линейных алгебраических уравнений

где

то система

называется сопряженной с системой (18).

Минором порядка матрицы называется определитель порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении каких-либо ее строк и столбцов

Если у матрицы все миноры порядка равны нулю, а среди ее миноров порядка имеется хоть один, отличный от нуля, то число называется рангом матрицы .

Теорема 1.1. Если определитель системы равен нулю, то однородная система и сопряженная имеют каждая линейно независимых решений, где — ранг матрицы .

Введем следующие понятия. Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма

Определение. Ядро получаемое из ядра заменой на и наоборот, называется сопряженным с ядром

(В случае, когда есть комплекснозначная функция действительных аргументов полагаем по определению

где означает величину, комплексно сопряженную с

Уравнение

называется сопряженным (союзным) с уравнением (20).

Для интегрального уравнения (2) с вырожденным ядром сопряженное с ним уравнение имеет вид

Для него

где

Если уравнение (23) однородное, то для определения получаем однородную систему

сопряженную с системой (13).

В силу теоремы 1.1 обе эти системы имеют одинаковое число линейно независимых вектор-решений.

Если суть ненулевые вектор-решения системы (26), то функции

будут собственными функциями однородного уравнения

сопряженного с уравнением (9).

Итак, если X есть характеристическое число ядра К то однородное интегральное уравнение (15) и сопряженное с ним уравнение (27) имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций. Это — вторая теорема Фредгольма.

3°. Рассмотрим, наконец, неоднородное уравнение (2) в случае, когда X — характеристическое число.

Как мы отмечали, его разрешимость эквивалентна разрешимости неоднородной системы (6) линейных алгебраических уравнений

Воспользуемся следующей теоремой ([30]).

Теорема 1.2. Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных членов этой системы был ортогонален ко всем вектор-решениям сопряженной однородной системы.

Согласно этой теореме, неоднородная система (6) будет разрешима тогда и только тогда, когда вектор будет ортогонален каждому из векторов т. е. когда

Но , следовательно, условие (28) можно записать так:

Таким образом, неоднородное интегральное уравнение (2) с вырожденным ядром при характеристическом значении X будет разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член будет ортогонален ко всем решениям сопряженного однородного интегрального уравнения (27). Это — третья теорема Фредгольма. Подчеркнем, что вопрос о разрешимости уравнения (2) требует проверки конечного числа условий

Если эти условия выполнены, то уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Все они описываются формулой

где — какое-либо решение неоднородного уравнения (2), а — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение

где непрерывна на

Запишем уравнение в виде

и положим

Тогда

Для определения коэффициентов получаем систему

Определитель системы (32) равен Если то система (32) имеет единственное решение при любых правых частях и уравнение (3) однозначно разрешимо при любой непрерывной на функции

Пусть теперь . Тогда однородная система

отвечающая системе (32), будет иметь ненулевое решение где С — любое.

Следовательно, однородное интегральное уравнение

отвечающее данному, при имеет ненулевое решение

Ядро интегрального уравнения (30) симметрично:

поэтому сопряженное однородное интегральное уравнение совпадает с уравнением (34), и, значит, решение сопряженного уравнения есть

Неоднородная система алгебраических уравнений (32) при принимает вид

откуда сразу видно, что она будет разрешима, только если

или, что то же,

т. е. когда будет ортогональна любому решению сопряженного уравнения (см. (36)).

Так, если то условие (37) не выполнено и уравнение (30) неразрешимо.

Если то уравнение (30) имеет бесчисленное множество решений

Аналогично исследуется случай к

Условия (29) будут заведомо выполнены, если выполняются условия

Как следствие из доказанных теорем вытекает важная Теорема об альтернативе. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение в зависимости от свободного члена либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений.

Замечание. Результаты остаются в известном смысле справедливыми и для случая, когда аналитически зависят от параметра , т. е. для уравнений вида

В этом случае становятся аналитическими функциями от а определитель будет уже не многочленом относительно , а аналитической функцией к более общей природы. Поэтому может оказаться, что характеристических чисел вовсе не существует, поскольку неалгебраическая аналитическая функция может не и меть нулей.

Пусть теперь имеем интегральное уравнение

с произвольным (невырожденным) непрерывным ядром и непрерывной Можно показать (см. ниже, § 14), что если построить достаточно близкое к ядру вырожденное ядро то, решив уравнение с вырожденным ядром мы получим решение, близкое к решению уравнения с ядром при той же правой части. Более того, если мы построим последовательность вырожденных ядер, равномерно сходящуюся к ядру то последовательность решений уравнений с ядрами будет равномерно сходиться к решению уравнения (38) с ядром

Способы построения вырожденных ядер, близких к данному ядру могут быть самыми различными. Например, ядро можно приближать частичными суммами степенного или двойного тригонометрического Гяда, если ядро разлагается в равномерно сходящийся в прямоугольнике степенной или тригонометрический ряд, или приближать его алгебраическими или тригонометрическими интерполяционными многочленами.

Пример. Найти решение интегрального уравнения

Ядро уравнения аппроксимируем суммой первых трех членов разложения в ряд Тейлора, т. е. положим

в вместо исходного уравнения рассмотрим интегральное уравнение

Это уже уравнение с вырожденным ядром. Решение его ищем в виде

где

Для определения постоянных получаем систему

Решая ее, получим

так что

Точное решение интегрального уравнения Для найденного приближенного решения при имеем т. е. расхождение с точным решением всего 0,008.