ГЛАВА IV. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пусть функция задана в интервале конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции называется функция

где — фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования.

Метод интегральных преобразований состоит в переформулировании задачи через преобразованную функцию. При этом мы стремимся к тому, чтобы в этой новой форме задачу решить было легче. Применительно к интегральному уравнению мы получаем, вообще, интегральное уравнение для преобразованной функции. Если это уравнение оказывается более простым, чем первоначальное, то мы можем получить интегральное представление для исходной неизвестной функции. Этот метод особенно хорош, когда интегральное уравнение после интегрального преобразования сводится к алгебраическому уравнению.

§ 17. Преобразование Фурье

Известно, что если функция удовлетворяет условию Дирихле на любом конечном отрезке оси и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т. е.

то для нее справедливо равенство

При этом во всякой точке являющейся точкой разрыва 1-го рода функции значение интеграла в правой части (1) будет равно

Формулу (1) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегралом Фурье. От формулы (1) нетрудно перейти к комплексной форме интеграла Фурье

Пусть функция удовлетворяет сформулированным выше условиям. Функция

называется преобразованием Фурье функции или спектральной функцией.

В силу формулы (2) имеем

Это так называемое обратное преобразование Фурье.

Важную роль в применении преобразования Фурье к решению интегральных уравнений играет теорема о свертке.

Пусть преобразования Фурье функций Тогда

причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно. Сделаем замену переменной так что Тогда будем иметь

(В силу теоремы Фубини перемена порядка интегрирования законна.)

Функция

называется сверткой функций и обозначается

Формула (5) может быть записана теперь так:

откуда видно, что преобразование Фурье свертки функций равно умноженному на произведению преобразований Фурье свертываемых функций:

где символом обозначается преобразование Фурье функции

Операция свертки коммутативна: . В самом деле, производя замену переменной получаем

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма на оси с ядром, зависящим от разности аргументов:

(уравнение типа свертки). Здесь обычно применяется преобразование Фурье (в предположении; что все участвующие функции абсолютно интегрируемы на всей оси).

Формальное решение может быть получено следующим образом. Применяя к обеим частям (6) преобразование Фурье и используя теорему о свертке функций, получим

где — преобразования Фурье функций соответственно.

Из (7) находим

и решение уравнения (6) лолучается в виде

Если имеет нули при вещественном то уравнение (6), вообще говоря, не имеет абсолютно интегрируемого на всей оси решения.

Из (8) получаем

Пусть — обратное преобразование Фурье функции

Тогда интеграл в правой части (9)

есть свертка функций и формула (9) может быть переписана в виде

Это — другое формальное решение уравнения (6).

Простейшие условия, при которых приведенные выкладки законны, даются следующей теоремой (см. [40]).

Теорема 4.1. Пусть абсолютно интегрируема на всей оси и пусть для всех Тогда формула (8) дает решение уравнения (6), и притом единственное (в смысле так что всякое другое решение из совпадает с почти для всех

Если то это же верно и для и формула (10) эквивалентна (8).

Пример. Пусть

Тогда

Далее,

Согласно. формуле (8) решением будет

Рис. 11.

Пусть, например, Для вычисления последнего интеграла при рассмотрим замкнутый контур Г (рис. 11), составленный из отрезка действительной оси и полуокружности опирающейся на этот отрезок и лежащей в верхней полуплоскости комплексной -плоскости

При достаточно большом внутри контура Г лежит особая точка подынтегральной функции

Используя теорему Коши о вычетах, имеем

В силу леммы Жордана при Переходя в последнем равенстве к пределу при найдем

Таким образом,

Рассматривая контур Г, составленный из отрезка оси и нижней полуокружности С, аналогично находим

Таким образом, единственное -решение интегрального уравнения (6) при данном свободном члене и ядре определяется формулами

Мы привели простейшие условия, при которых интегральное уравнение (6) имеет единственное решение в классе функций Однако не исключено, что уравнение (6) может иметь и другие решения, не принадлежащие Если существуют

два решения уравнения (6), то их разность должна удовлетворять однородному уравнению

Это уравнение формально удовлетворяется функцией где а таково, что

(если этот интеграл сходится). Можно показать, что при определенных условиях функции этого вида являются единственными решениями однородного уравнения (11). Именно, пусть абсолютно интегрируемо на всей оси а функция

Тогда, если удовлетворяет уравнению (11), то она имеет вид

где пробегает все нули функции для которых — постоянные коэф фициенты и — кратность нуля

Рассмотрим опять интегральное уравнение

Оно легко приводится к дифференциальному уравнению. Пусть

так что Тогда для так что

Для , так что

Так как в точке непрерывна, то

Поэтому окончательно

Таким образом, решение уравнения (14) содержит член с произвольной постоянной. Функция

является решением однородного уравнения

отвечающим нулю функции

Упражнение. Показать, что для любой функции уравнение

имеет решение

Показать, что при соответствующее однородное уравнение имеет решение

Преобразование Фурье может быть применено и к решению интегральных уравнений 1-го рода

Здесь — известная, — искомая функция.

Действуя формально, применим к обеим частям (16) преобразование Фурье и, используя теорему о свертке функций, получим

откуда

Чтобы функция определяемая равенством (18), действительно была решением уравнения (16), должно удовлетворять определенным условиям.

Именно, пусть абсолютно интегрируема на всей оси Чтобы существовало решение уравнения (16), принадлежащее необходимо и достаточно, чтобы принадлежало