12. n-мерное векторное пространство.

Мы дадим полученным выше результатам геометрическую формулировку, которой будем пользоваться в дальнейшем. Для этого введем понятия о векторе в -мерном пространстве, а именно назовем таким вектором совокупность чисел (комплексных), идущих в определенном порядке. Таким образом всякий такой вектор характеризуется последовательностью комплексных чисел, которые называются составляющими этого вектора: . Совокупность всех таких векторов образует -мерное векторное пространство

Два вектора считаются равными тогда и только тогда, когда все их составляющие одинаковы, т. е. если имеются два вектора и , то векторное равенство равносильно следующим скалярным равенствам: Определим операцию — умножение вектора на число и сложение векторов. По определению умножение вектора на число сводится к умножению всех составляющих вектора на это число, т. е. если вектор имеет составляющие то вектор имеет составляющие . Сложение векторов сводится к сложению составляющих, т. е., если имеются векторы то, по определению, сумма имеет составляющие

Нулевым вектором называется вектор у которого все составляющие равны нулю. Обозначим этот вектор символом . Мы имеем, очевидно, где любой вектор, и

Вычитание векторов определяется так: вектор имеет составляющие . Мы имеем, очевидно, т. е. вычитание вектора у равносильно сложению с вектором у, умноженным на число . В дальнейшем нам придется часто писать векторные равенства. Всякое такое равенство равносильно скалярным равенствам, выражающим тот факт, что соответствующие составляющие обеих частей равенства одинаковы. В дальнейшем мы не будем пользоваться символом 0 для нулевого вектора, но надо помнить, что если в векторном равенстве с одной стороны стоит нуль, то этот нуль надо понимать как нулевой вектор. Из данных выше определений непосредственно вытекают обычные свойства сложения и умножения:

В сумме векторов с любым числом слагаемых можно, таким образом, переставлять слагаемые и заключать их в группы. Из равенства следует и, наоборот, из следует

Введем теперь понятие о линейной зависимости и независимости векторов. Векторы

будем называть линейно-зависимыми, если существуют такие постоянные не все равные нулю, что

Если таких постоянных не существует, то будем называть векторы (18) линейно-независимыми. Обозначим составляющие векторов через Условие (19), очевидно, равносильно системе уравнений с неизвестными

Пользуясь полученными выше результатами для однородной системы, нетрудно вывести из них ряд следствий и придать этим результатам геометрическую формулировку. Положим сначала, что т. е. что число векторов больше числа измерений пространства. При этом в однородной системе (20) число уравнений будет меньше числа неизвестных, и эта система, как мы знаем, наверно будет иметь для неизвестных С, решения, отличные от нулевого, т. е. наши векторы будут наверно линейно-зависимыми.

Иначе говоря, число линейно-независимых векторов, самое большее, равно числу измерений пространства. Рассмотрим теперь случай При этом система (20) будет содержать одинаковое число уравнений я неизвестных и будет иметь решения, отличные от нулевого, тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е. если в -мерном пространстве мы имеем векторов, и составим из составляющих этих векторов определитель, помещая, например, составляющие каждого вектора в определенном столбце и считая номер строки совпадающим с номером составляющей, то для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы этот определитель был отличен от нуля. Величина этого определителя имеет аналог с объемом параллелепипеда в вещественном трехмерном пространстве.

Мы можем в любом определителе порядка рассматривать элементы каждого столбца как составляющие некоторого вектора и при этом величина определителя будет функцией я векторов Равенство нулю этого определителя будет равносильно тому факту, что эти векторы линейно-зависимы.

Обозначим величину определителя как функцию векторов b через

Вспоминая, что при перестановке двух столбцов величина определителя меняет знак, мы можем утверждать, что функция А изменит лишь знак, если поменять местами ее два аргумента. Такая функция называется обычно антисимметрической. Нетрудно видеть, например, что определитель Вандермонда который мы рассматривали в [5], есть также антисимметрическая функция своих аргументов

Вернемся к рассмотрению системы (20) и к вопросу о линейной независимости векторов предполагая Обозначим через k ранг таблицы, образованной составляющими Если то, как мы видели, система имеет только нулевое решение, т. е. векторы линейно-независимы. Если же то система будет наверно иметь решение, отличное от нулевого, т. е. для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы их число равнялось рангу таблицы, образованной их составляющими. Положим теперь, что т. е. что векторы линейно-зависимы. Выделим из них те k векторов (возможно, что это можно будет сделать несколькими способами), составляющие которых содержат определитель порядка k, отличный от нуля. Согласно доказанному выше, эти векторы линейно-независимы. Нетрудно видеть, что каждый из остальных векторов может быть выражен линейно через выделенные векторы. Действительно, пусть -линейно-независимые векторы. Присоединяя к ним какой-нибудь вектор получим векторов, которые будут линейно зависимы, так как ранг k таблицы их составляющих меньше их числа

Итак, будут существовать постоянные среди которых есть отличные от нуля, такие, что

При этом наверно , ибо, в противном случае, векторы оказались бы линейно-зависимы. Из написанного равенства следует:

т. е. выражается линейно через Пусть каких-нибудь линейно-независимых векторов. В качестве примера таких векторов мы можем указать векторы:

Если мы возьмем какой угодно вектор , то векторов как мы видели выше, наверно линейно-зависимы:

причем постоянная С наверно отлична от нуля, ибо в противном случае векторы оказались бы линейно-зависимы. Из предыдущего следует, что любой вектор выражается через линейно-независимых векторов:

Нетрудно видеть, что существует лишь одно определенное выражение через Действительно, если бы, кроме написанного выражения, существовало еще одно выражение:

в котором есть коэффициенты отличные от соответствующих , то, вычитая два написанных соотношения почленно, мы получили бы:

т. е. векторы оказались бы линейно-зависимыми. Если за векторы принять векторы (21), то числа формулы (22) будут, очевидно, совпадать с составляющими вектора . В общем случае их можно назвать также составляющими вектора если приняты за орты. Придавая числам всевозможные комплексные значения, получим все векторы нашего -мерного пространства. Положим теперь, что мы имеем k линейно-независимых векторов

причем Говорят, что совокупность векторов, получаемых по формуле

где - произвольные постоянные, образует некоторое подпространство измерения k.

Как и выше, можно показать, что всякий вектор, принадлежащий единственным образом выражается через Говорят иначе, что векторы (23) образуют подпространство

Заметим, что если какой-нибудь вектор z принадлежит , т. е. выражается формулой вида то вектор , где с — любая постоянная, также выражается, очевидно, формулой вида (23, т. е. также принадлежит Точно так же, если принадлежат , то их сумма также принадлежит Отсюда непосредственно следует и более общее свойство: если некоторые векторы принадлежат то их любая линейная комбинация также принадлежит

Возьмем каких-нибудь векторов, принадлежащих

В силу линейной независимости векторов (23) соотношение вида

равносильно системе k однородных уравнений

Если эта система имеет решения, отличные от нулевого, то векторы (24) линейно-зависимы. В частности, если то наверно имеются решения, отличные от нулевого, т. е. всякая совокупность векторов числом больше k из подпространства, образованного векторами (23), будет совокупностью линейно-зависимых векторов. Отсюда непосредственно следует, что подпространство, образованное линейно-независимыми векторами (23), не может быть образовано никакой совокупностью линейно-независимых векторов число которых Действительно, согласно вышеуказанному, в таком подпространстве не может существовать больше, чем линейнонезависимых векторов, а с другой стороны, этому подпространству должны принадлежать линейно-независимые векторы (23), число которых k больше L Если мы возьмем k каких-нибудь линейно-независимых векторов принадлежащих то они образуют, в указанном выше смысле, это же подпространство

Действительно, в силу определения подпространства всякая линейная комбинация

принадлежит . С другой стороны, возьмем какой-нибудь вектор у из . Векторы , числом принадлежат и, по предыдущему, должны быть линейно-зависимыми

и, поскольку — линейно-независимы, коэффициент должен быть отличным от нуля, т. е. всякий вектор у из выражается через т. е. эти последние векторы действительно образуют

Если в формулах и определитель из коэффициентов С отличен от нуля, то векторы будут линейно-независимыми векторами из . В общем случае нетрудно показать, что число линейно-независимых векторов, даваемых формулами (24), равно рангу таблицы

Выше мы видели, что если вектор z принадлежит некоторому подпространству L, то вектор при любом постоянном с также принадлежит L, и если принадлежат L, то также принадлежат L Мы могли бы дать новое определение подпространства, а именно назвать подпространством такую совокупность векторов, что если z принадлежит L, то и принадлежит и если и принадлежат L, то также принадлежит L. Отсюда непосредственно следует, что всякая линейная комбинация векторов, принадлежащих L, также принадлежит L. Мы только что видели, что из прежнего определения подпространства вытекают, как следствие, те свойства, которые сформулированы в новом определении. Покажем и наоборот, что из нового определения вытекает прежнее, т. е. что эти два определения равносильны.

Возьмем некоторый вектор принадлежащий L. По определению подпространства L векторы при произвольном также принадлежат L. Если этими векторами исчерпывается всё L, то мы имеем в прежнем смысле. В противном случае в L входи некоторый вектор линейно-независимый с и векторы при произвольных и С принадлежат L. Если этими векторами исчерпывается всё L, то L совпадает с некоторым L в прежнем смысле. В противном случае в L входит некоторый вектор такой, что линейно-независимы. Продолжая так и дальше, мы, путем присоединения конечного числа линейно-независимых векторов исчерпаем всё L, так как не существует более линейно-независимых векторов. Общее число k этих векторов дает нам измерение подпространства L. Если окажется, что то L совпадает со всем -мерным пространством.

Отметим одно обстоятельство, связанное с образованием подпространства. Положим, что векторы - линейнозависимы. При этом по-прежнему говорят, что формула определяет некоторое подпространство L. Положим, что среди указанных векторов первые — линейно-независимы, а каждый из следующих векторов: выражается линейно через первые При этом совокупность векторов, определяемых формулой , будет, очевидно, совпадать с совокупностью векторов, определяемых формулой:

т. е. подпространство L, образуемое линейно-зависимыми векторами имеет размерность

Рассмотрим вещественное трехмерное пространство и условимся откладывать векторы от некоторой определенной точки О (начало) В данном случае При подпространство есть некоторая прямая, проходящая через О, a есть некоторая плоскость, проходящая через О.