2.3. Совместные вероятности

Выше мы рассматривали преимущественно исходы одного основного эксперимента. Однако во многих интересных задачах приходится иметь дело с исходами нескольких различных основных экспериментов, например со значениями амплитуды шумового напряжения в различные моменты времени или с результатом бросания двух игральных костей. В первом примере может представить интерес вероятность того, что в некоторый момент времени амплитуда шумового напряжения превышает другой момент превышает Во втором примере мы можем пожелать узнать вероятность того, что на одной кости выпадают два очка и на другой — пять очков.

Вероятности, относящиеся к таким составным экспериментам, называются совместными вероятностями. Нетрудно убедиться, что совместные вероятности также обладают основными свойствами, рассмотренными в предыдущем параграфе; в самом деле, составной эксперимент, представляющий собой комбинацию одного эксперимента с возможными исходами и другого эксперимента с исходами можно рассматривать также как простой эксперимент с возможными исходами Если, следовательно, вероятность того, что одновременно будут иметь место исход эксперимента А и исход эксперимента В, обозначить через то, согласно неравенству (2.3),

Из рассуждений, которые привели нас к равенству (2.5), следует, далее, что если существуют К. возможных попарно несовместимых исходов и М возможных попарно несовместимых исходов то

так как мы имеем здесь дело с достоверным событием. Оба полученных результата, очевидно, можно распространить на случай комбинаций более чем двух основных экспериментов.

Новая проблема, однако, возникает, когда мы начинаем интересоваться соотношением между совместными вероятностями в составном эксперименте и элементарными вероятностями в основных экспериментах, образующих составной. Например, в предыдущем случае может понадобиться выяснить соотношение между совместными вероятностями и элементарными вероятностями Для этого рассмотрим вероятность того, что будут иметь место исход эксперимента А и любой из возможных исходов эксперимента В. Если все возможные исходы эксперимента В попарно несовместимы, то, согласно аксиоме III,

Но это есть просто вероятность того, что происходит событие (Ли), каков бы ни был исход эксперимента В, т. е. просто вероятность Итак, если все возможные исходы эксперимента В попарно несовместимы, то

Аналогично, если попарно несовместимы все возможные исходы

эксперимента А, то

Таким образом, мы вывели следующий важный факт: элементарные вероятности, относящиеся к основным экспериментам, образующим составной эксперимент, могут быть получены из совместных вероятностей, относящихся к этому составному эксперименту.

Из равенств (2.9 а) и (2.9 б) следует, далее, что так как совместные вероятности неотрицательны, то для любых значений