3.2. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОЛЕБАНИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Ниже, при рассмотрении различных функциональных преобразований сигналов перед нами неоднократно будет возникать задача определения спектра колебаний на выходе нелинейной цепи. Поэтому целесообразно прежде всего ознакомиться с общими методами спектрального анализа.

Задача заключается в следующем: на вход безынерционной нелинейной цепи, аппроксимируемой зависимостью

действует гармоническое

«ли бигармоническое

или полигармоническое колебание

Требуется определить спектр отклика, т. е. спектр тока Классический метод решения этой задачи заключается в подстановке выражений (3.4)-(3.6) в правую часть (3.3) с последующим определением спектральных компонент путем использования аппарата рядов Фурье в случае гармонического воздействия (3.4) или кратных рядов Фурье в случае бигармонического (3.5) и полигармонического (3.6) воздействий. Однако такой метод определения спектра отклика оказывается весьма трудоемким. Поэтому на практике получили распространение специальные методы спектрального анализа, каждый из которых связан, как правило, с определенными способами аппроксимации нелинейной зависимости (3.3) и характером воздействующего сигнала.

Задача любого метода спектрального анализа заключается в таком преобразовании правой части (3.3), при котором отклик (ток) представляется в виде суммы гармонических слагаемых: амплитуды и частоты этих компонент определяют спектр отклика. Наибольшее распространение имеют методы, основанные на использовании: 1) тригонометрических формул кратного аргумента,

2) формул трех и пяти ординат, 3) функций Бесселя от мнимого аргумента, а также 4) угла отсечки.

МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ КРАТНОГО АРГУМЕНТА

Этот метод является основным при использовании полиномиальной аппроксимации и особенно удобен для выявления принципа действия и основных особенностей таких устройств, как модуляторы, детекторы, преобразователи частоты, делители частоты и т. п.

Сначала рассмотрим воздействие на нелинейный резистивный элемент, характеристика которого аппроксимирована полиномом степени

гармонического колебания (3.4). Подставляя (3.4) в (3.7), получаем

Для представления правой части (3.8) в виде суммы синусоидальных компонент воспользуемся известными тригонометрическими

формулами, позволяющими заменить степени косинусов (или синусов) через тригонометрические функции кратных аргументов (отсюда название метода)

полагая

Осуществление такой подстановки и последующее суммирование коэффициентов при косинусах одинаковых аргументов позволяет записать (3.8) как

где

На рис. 3.6a построен спектр выходного сигнала (3.11) и отмечены амплитуды спектральных компонент.

Рис. 3.6

Из сравнения выражений (3.11) и (3.12) с (3.4) следует:

1. Спектр отклика нелинейного элемента при воздействии на него гармонического сигнала оказывается линейчатым, содержащим ряд составляющих с частотами, кратными частоте входного сигнала. Наивысший номер составляющей спектра равен степени используемого поли «ом а. Поэтому, если для какого-то применения нелинейного элемента необходимо знать амплитуду гармоники отклика, вольт-амперная характеристика элемента должна быть аппроксимирована полиномом порядкане ниже

2. Постоянная составляющая отклика и амплитуды четных гармоник определяются только четными степенями напряжения в полиноме а нечетных гармоник — только нечетными.

3. Текущая фаза гармоники отклика с частотой раз больше значения текущей фазы (3.10) воздействующего сигнала:

Начальные фазы связаны соотношением

При воздействии бигармонического напряжения (3.5) на нелинейный элемент, аппроксимируемый полиномом (3.7),

Раскрываем скобки в правой части (3.15), используя в случае высоких степеней бином Ньютона, после чего с помощью тригонометрических формул представляем правую часть (3.15) в виде суммы гармонических составляющих различных частот. Для

Под каждым слагаемым записаны частоты, получающиеся при замене степеней и произведений косинусов суммой гармонических

составляющих на основании соотношений (3.9) и известного тригонометрического выражения

Из выражения (3.15) и частного случая (3.16) следует, что при воздействии бигармонического сигнала ток содержит три группы гармонических составляющих:

гармоники с частотами и начальными фазами где

гармоники с частотами и начальными фазами где

комбинационные составляющие с частотами и начальными фазами где отличные от нуля целые числа любого знака.

Комбинационные частоты возникают в нелинейных цепях только в случае одновременного воздействия на них двух или большего числа гармонических колебаний. Комбинационные частоты принято характеризовать их порядком определяемым суммой коэффициентов: Простейшими являются комбинационные частоты второго порядка В случае в отклике содержатся комбинационные частоты второго и третьего порядков.

На рис. 3.66 построен спектр отклика (3.16) на воздействие бигармонического сигнала (3.5), причем комбинационные частоты выделены пунктирными линиями.

Если отношение частот не может быть представлено в виде отношения небольших целых чисел (случай асинхронных воздействий), то все гармоники и колебания комбинационных частот образуют различные частотные компоненты. В частности, первая гармоника тока частоты может быть записана как — е. она совпадает по фазе с воздействующим напряжением этой частоты.

Положение меняется, если отношение частот может быть выражено отношением небольшим целых чисел (случай синхронных воздействий)

где В этом случае ток может содержать несколько компонент одной и той же частоты с различными фазами. В качестве примера рассмотрим воздействие бигармонического колебания с

иа нелинейный элемент, описываемый полиномом второй степени

Подставляя (3.19) в (3.20), легко установить, что теперь первая гармоника тока частоты состоит из двух компонент:

из которых вторая является следствием возникновения комбинационной частоты второго порядка. Еслн, например, выражение (3.21) можно записать

где

Из выражений (3.22) и (3.23) следует, что в рассматриваемом случае:

имеет место сдвиг фаз между первой гармоникой тока частоты и воздействующим напряжением той же частоты; это означает, что резистивный нелинейный элемент (3.20) по отношению к воздействию частоты обладает комплексной средней крутизной или

величина сдвига фаз и амплитуды а значит, и величины активной и реактивной компонент средней крутизны зависят от амплитуды и фазы второго колебания (второй гармоники

Обогащение спектра отклика по сравнению со спектром воздействия происходит и в нелинейных реактивных цепях. Так, если на нелинейную дифференциальную емкость, аппроксимируемую относительно рабочей точки полиномом действует бигармоническое напряжение (3.5), в спектре тока

окажутся частоты, кратные и комбинационные частоты до третьего порядка включительно.