КРИТЕРИЙ РАУСА—ГУРВИЦА

Критерий Рауса-Гурвица является аналитическим критерием, непосредственно устанавливающим условия, при которых вещественные части всех корней характеристического уравнения оказываются отрицательными. Для этого нужно написать главный определитель, пользуясь следующими правилами: первый столбец содержит коэффициенты уравнения (4.23) с нечетными индексами в порядке возрастания, а в каждом ряду вправо располагаются коэффициенты в порядке убывания их индексов

Далее из главного определителя нужно выписать определителей (здесь степень характеристического уравнения) согласно пунктирным линиям в (4.26):

первый определитель включает один столбец и одну строку

второй определитель содержит два столбца и две строки

третий — три столбца и три строки

Критерий Рауса-Гурвица устанавливает, что все корни характеристического уравнения (4.23) при имеют отрицательные вещественные части, если все определителей положительны. При составлении определителей следует считать коэффициенты если индекс е. если такие коэффициенты в (4.23) отсутствуют. Поскольку главная диагональ определителя (4.26) содержит коэффициенты в нижней строке последнего определителя слева от оказываются коэффициенты с индексами потому они должны быть заменены нулями. Рассмотрим примеры.

1. Характеристическое уравнение второй степени

Полагая получаем два условия устойчивости по критерию Рауса — Гурвица:

Если выполняется (4.31), то для выполнения (4.32) требуется, чтобы

Таким образом, из критерия Рауса — Гурвица следует, что корни уравнения (4.30) имеют отрицательные вещественные части, если все коэффициенты уравнения положительные.

Справедливость этого вывода можно проверить непосредственно из решения квадратного уравнения Если все коэффициенты уравнения положительны, то возможны два варианта: а) когда и тогда оба корня действительные и отрицательные; б) когда и тогда корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью.

2. Характеристическое уравнение третьей степени

Условия устойчивости при записываются как

В случае выполнения (4.34) из (4.35) следует Если же учесть, что то для выполнения условия (4.34) необходимо, чтобы Таким образом, для обеспечения устойчивости требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительными и, кроме того, выполнялось условие (4.34).

3. Характеристическое уравнение четвертой степени

Условия устойчивости при оказываются

Легко показать, что если эти условия выполняются, то

В общем случае для обеспечения устойчивости необходимо (хотя для недостаточно), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными

Если все коэффициенты положительны, то не все условия оказываются независимыми: из положительности определителей четного порядка следует положительность определителей нечетного порядка и наоборот. С учетом этого Льенар и Шиппар сформулировали критерий: все корни характеристического уравнения (4.23) имеют отрицательны еств части, если: а) все коэффициенты уравнения (4. 23) положительные и выполняются условия или

Читателю рекомендуем самостоятельно проверить, что при выполнении (4.37) корни характеристического уравнения третьей степени будут иметь отрицательные вещественные части, если четвертой степени, если пятой степени, если

Критерии Рауса — Гурвица и Льенара — Шиппара широко используются при теоретических исследованиях различных устройств с обратной связью.