2.2. АППРОКСИМАЦИЯ ВОЛЬТ-АМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Общие сведения. Математическое описание работы схемы начинается с составления уравнений, связывающих токи и напряжения в различных частях схемы, в том числе и в нелинейных элементах. Для нелинейных элементов обычно известна графическая зависимость тока от напряжения (из справочника или эксперимента). Поэтому возникает задача аппроксимации, т. е. приближенного аналитического представления нелинейной характеристики. Наиболее широкое распространение имеют аппроксимации полиномиальная, кусочно-линейная, а также с помощью некоторых трансцендентных функций (экспоненциальных, тригонометрических и др.).

Обычно при выборе способа аппроксимации стремятся удовлетворить требованиям, являющимся в значительной степени противоречивыми:

возможности выявления свойств схемы, представляющих интерес в рассматриваемом случае. Например, для объяснения различных особенностей работы автогенератора требуется аппроксимировать характеристику нелинейного элемента полиномами то первой, то третьей, а то и пятой степени;

простоты аппроксимирующей функции, допускающей последующую математическую обработку;

достаточной точности.

Необходимость определенной точности аппроксимации очевидна, ибо без нее нельзя гарантировать достаточную точность расчетов всего устройства. Однако увеличение точности аппроксимации достигается, как правило, ценой усложнения аппроксимации, что противоречит второму, а иногда и первому требованиям. Кроме того, характеристики и параметры реальных приборов (транзисторов, ламп) обладают значительным разбросом и потому во многих случаях качественно правильная аппроксимация имеет большее значение, чем точность. В других случаях, например при расчетах на ЭВМ сложных устройств микроэлектроники, содержащих сотни и тысячи элементов и не имеющих органов регулировки, вопрос о точности аппроксимации характеристик элементов приобретает первостепенное значение. Величина допустимой неточности аппроксимации может оцениваться различными критериями приближения. Наибольшее распространение имеют: 1) среднеквадратическое приближение, при котором требуют, чтобы среднее значение квадрата отклонения аппроксимирующей зависимости от действительной не превышало некоторой допустимой величины

в интервале значений и, в пределах которого производится аппроксимация; 2) равномерное приближение, при котором требуют, чтобы при любом значении и интервала величин отклонения от не превышала , т. е.

Полиномиальная аппроксимация. Полиномиальная аппроксимация заключается в представлении вольт-амперной характеристики полиномом степени:

Такой способ аппроксимации является наиболее удобным для объяснения принципа действия многих нелинейных устройств (модуляторов, детекторов, генераторов и пр.), находящихся под воздействием одного или «ескольких гармонических колебаний. Определим коэффициенты полинома (2.3) с помощью метода выбранных точек. Метод состоит в определении коэффициентов из условия равенства значений ординат аппроксимированной и действительной характеристик в выбранных точках кривой. Для аппроксимации полиномом степени в пределах интервала аппроксимации задаваемого диапазоном изменения и, выбираем напряжения до и определяем соответствующие токи до Простейший способ выбора значений деление интервала на равных частей как показано на рис. 2.3. При

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Для определения коэффициентов потреоуем, чтооы при напряжениях правые части полинома (2.3) давали

В этих уравнениях значения известны. Решая систему алгебраических уравнений (2.4), находим коэффициенты Если лежит внутри интервала аппроксимации коэффициент

определяется как ток при Очевидно, чем выше степень полинома тем ближе точки, в которых аппроксимированная характеристика совпадает с действительной, и тем точнее аппроксимация.

Для упрощения расчетов нередко характеристику аппроксимируют относительно рабочей точки А, вводя координаты и В этом случае в аппроксимирующем полиноме

отсутствует свободный член ибо при При этом уменьшается число коэффициентов полинома степени, подлежащих определению, и упрощаются последующие расчеты компонент тока, поскольку при воздействии (2.1) в (2.5) нужно подставлять только переменную составляющую воздействия:

За пределами использованного при аппроксимации интервала аппроксимированная характеристика (пунктир на рис. 2.3) может резко отклоняться от действительной (сплошной), и пользоваться ею без специальной проверки не следует.

Определение коэффициентов сводится к наложению на полином граничных условий. В ряде случаев некоторые из этих условий целесообразно заменить иными. Например, можно потребовать, чтобы в определенных точках равными у аппроксимированной и действительной характеристик были бы не только ординаты, но и производные первого, а иногда и более высокого порядка. Так, характеристику туннельного диода (рис. 2.4) нередко аппроксимируют относительно середины падающего участка неполным полиномом третьей степени определяя коэффициенты и из условий совпадения в экстремальных точках где ординат характеристик и б) касательных к ним. Второе условие означает

Из первого условия для точки имеем

Совместное решение (2.6) и (2.7) дает

Четные и нечетные части характеристик. Нелинейную вольт-амперную рактеристику аппроксимируемую полиномом (2.3), можно представить в виде суммы четной и нечетной частей

где

Четная и нечетная части характеристики удовлетворяют соотношениям:

Заменяя в (2.8) и на и учитывая (2.10), получим

Сложение и вычитание правых и левых частей (2.8) и (2.11) приводит к следующим выражениям для определения четных и нечетных частей характеристики:

Четные и нечетные части характеристик строятся обычно относительно смещений, соответствующих рабочим точкам. На рис. 2.5а, показаны такие построения для двух рабочих точек: Для каждого случая по характеристике построены: как зеркальное изображение относительно оси ординат, проведенной через рабочую точку, как кальное изображение относительно оси абсцисс, и как полусуммы характеристик, соответствующих выражениям (2.12).

Рис. 2.5

Целесообразность раздельного построения четной и нечетной частей характеристик вызвана рядом причин. Во-первых, работа многих схем определяется либо только четной (модуляция, детектирование), либо только нечетной (генерирование колебаний при постоянном смещении) частью характеристики. Аппроксимация же отдельно четной и отдельно нечетной частей вольт-амперной характеристики значительно проще аппроксимации полного полинома той же степени. Во-вторых, наличие таких характеристик во многих случаях облегчает понимание процессов в анализируемом устройстве.

По виду этих характеристик можно судить о минимальной степени полинома, правильно отображающем их основные особенности. Так, если напряжение и изменяется относительно рабочей точки на рис. 2.5а в пределах отмеченного интервала коэффициенты четной части характеристики должны иметь значения: равное току в точке поскольку он определяет уменьшение при небольших напряжениях для ограничения уменьшения при дальнейшем возрастании Нечетная часть характеристики Должна выражаться полиномом третьей степени с последнее — для

ограничения возрастания при увеличении Для рис. 2.56 четная часть характеристики может аппроксимироваться по-прежнему полиномом четвертой степени, но с коэффициентами а нечетная — полиномом пятой степени с

Из выражений (2.10) следует практический способ создания устройств, характеристики которых имеют вид либо четной, либо нечетной части характеристики Для этого нужно взять два идентичных нелинейных элемента и работающих в одинаковых режимах; переменные напряжения на их входы должны подаваться в противофазе, что, в большинстве случаев, достигается благодаря использованию входного трансформатора с выведенной средней точкой вторичной обмотки, как показано на рис. 2.5в и г. В обеих схемах токи Для формирования четной части характеристики требуется выходное напряжение снимать с того места схемы, где протекает сумма токов (рис. 2.5в), так как тогда выходное напряжение пропорционально . В схеме формирования нечетной части характеристики нагрузка должна быть включена так, чтобы выходное напряжение изменялось пропорционально разности токов (рис. . В этом случае пропорционально

Аппроксимация трансцендентными функциями. В качестве аппроксимирующих трансцендентных функций применяются экспоненты и суммы экспонент, гиперболические, тригонометрические, обратные тригонометрические и другие функции.

Характеристику полупроводникового диода (рис. 2.6а) часто аппроксимируют экспонентой

с постоянными А и а. Характеристика (2.13) проходит через начало координат, так как при ток При больших обратных напряжениях, не достигающих напряжения пробоя, ток диода приблизительно постоянен и равен току насыщения неосновных носителей из (2.13) имеем Поэтому далее считаем и записываем (2.13) как

Чтобы определить диапазон напряжений, в пределах которого, характеристика рис. близка к экспоненте, воспользуемся распространенным методом приведения нелинейной характеристики к линейному виду, заключающемся в таком изменения масштабов откладываемых по осям величин, при котором аппроксимирующая зависимость становится линейной. Преобразуя (2.14) и логарифмируя, получаем Следовательно, если по точкам характеристики рис. построить

Рис. 2.6

Рис. 2.7

зависимость от и (рис. 2.66), то в диапазоне напряжений где эта характеристика мало отличается от линейной, ее аппроксимация выражением (2.14) будет достаточно точной. Постоянная определяется из рис. 2.66 как угловой коэффициент касательной: Нередко коэффициент а определяют иначе: из условия совпадения в некоторой точке реальной и теоретической (2.14) характеристик, т. е. из соотношения

Нелинейные зависимости более сложного характера иногда аппроксимируют суммой трансцендентных функций. Так, для характеристики туннельного диода подходящим оказывается выражение вида

в котором каждое слагаемое характеризует определенную компоненту тока: первое — туннельный ток, второе — диффузионный. На рис. 2.7 пунктирные линии изображают эти компоненты, а сплошная — суммарный ток. В, области напряжений, близких к влиянием второго слагаемого можно пренебречь, что позволяет определять параметры А и а из условий:

наличия горизонтальной касательной при е.

получения в точке

Из этих выражений

Коэффициенты и второго слагаемого могут быть определены, например, из условий при при

Кусочно-линейная аппроксимация. Кусочно-линейная аппроксимация заключается в замене реальной плавно меняющейся зависимости приближенной, состоящей из отрезков прямых линий, выбираемых большей частью касательными к реальной характеристике нескольких точках. На рис. 2.8а показана такая аппроксимация, содержащая два линейных участка. Характеристика аппроксимируется выражениями

На рис. 2.8 б по методу проекций построены импульсы тока, получающиеся при воздействии гармонического колебания достаточно большой амплитуды на данный нелинейный элемент, описываемый действительной (пунктирные линии) и кусочно-линейной (сплошные) характеристиками.

При больших амплитудах входных сигналов получающиеся в этих двух случаях импульсы тока мало отличаются друг от друга и при разложении их в ряд Фурье

Рис. 2.8.

постоянная составляющая и амплитуды нескольких первых гармоник также близки друг к другу. Поэтому данная аппроксимация широко используется при рассмотрении воздействия сигналов большой амплитуды. Если же амплитуда входного сигнала невелика, наблюдается значительное различие в результатах расчета по действительной и аппроксимированной характеристикам, т. е. такая аппроксимация непригодна.