ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕНЕРАТОРА. УСЛОВИЯ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ

Составим дифференциальное уравнение генератора (см. рис. 4.16), учитывающее только переменные составляющие токов и напряжений. Согласно первому закону Кирхгофа ток в выходной цепи

С целью упрощения расчетов используем два допущения: а) входной ток активного элемента считаем отсутствующим что достигается в генераторах на лампах и полевых транзисторах подачей надлежащего смещения во входную цепь, тогда

и б) пренебрегаем влиянием выходного напряжения усилителя на ток считая его зависящим только от входного напряжения

что в большинстве случаев лишь несколько снижает точность расчетов, не влияя на характер получающихся зависимостей.

Выражение (4.6) можно рассматривать как аппроксимацию характеристики прямой передачи активного элемента относительно рабочей точки. Производную тока по времени запишем как

где крутизна характеристики (4.6). Заменяем токи в (4.3) согласно (4.6) и (4.4):

Дифференцируя это уравнение по времени, используя (4.7) и (4.5) и обозначая получаем дифференциальное уравнение генератора

Это уравнение является нелинейным, поскольку коэффициент при зависит от искомой переменной Нелинейность уравнения является следствием наличия в схеме нелинейного элемента. Уравнение определяет все свойства рассматриваемого генератора, и его решение позволяет установить и условия самовозбуждения, и особенности стационарных колебаний, и характер переходных процессов.

При определении условий самовозбуждения колебаний нелинейное уравнение генератора (4.8), как уже отмечалось, может быть заменено линейным. Действительно, в этом случае нас интересует выяснение только вопроса, что будет с небольшим отклонением от состояния равновесия: станет оно затухать или нарастать. Так как нелинейная функция представляющая крутизну характеристики прямой передачи, не имеет разрыва, для малых величин она может быть заменена значением этой функции при е. крутизной в рабочей точке. В результате нелинейное уравнение (4.8) превращается в линейное:

Здесь напряжение и записано без индекса, поскольку уравнение справедливо и для в чем легко убедиться, используя (4.5). Уравнение (4.9) можно записать как уравнение контура

с эквивалентным коэффициентом затухания Его решение имеет вид

где амплитуда и фаза, зависящие от начальных условий; частота свободных колебаний. Если записать где сумма сопротивлений потерь, включенных последовательно в ветвях контура, то

где коэффициент затухания контура.

Уравнение (4.10) показывает, что генератор эквивалентен колебательному контуру, коэффициент затухания которого уменьшен на величину зависящую от взаимоиндукции т. е. от обратной связи. Полученный результат означает, что переменное напряжение на входе активного элемента, обязанное наличию обратной связи, создает ток доставляющий в колебательную систему энергию, компенсирующую потери в ней. Необходимая же энергия переменного тока получается благодаря тому, что переменное напряжение управляет расходом энергии

Рис. 4.4

источника постоянного тока, имеющимся в выходной цепи, т. е. благодаря преобразованию энергии постоянного тока в энергию переменного тока.

Если обратная связь невелика или вносимая энергия лишь частично компенсирует расходуемую в колебательной системе, поэтому возникшее колебание затухает, хотя и медленнее чем в отсутствие обратной связи. При достаточно сильной обратной связи коэффициент оказывается отрицательным (вносимая энергия больше расходуемой) и колебания нарастают. Зависимость характера колебаний от показана на рис. 4.4.

Условия самовозбуждения генератора можно записать как

или

В рамках допущений, принятых при выводе уравнения генератора, коэффициент обратной связи а коэффициент усиления усилителя Поэтому условие самовозбуждения (4.13) идентично условию (4.1).

Можно дать и иное объяснение действию обратной связи. Для этого перепишем уравнение (4.9) в виде

где Уравнению (4.14) соответствует эквивалентная схема рис. 4.5а.

Рис. 4.5

Действие обратной связи оказывается эквивалентным включению параллельно контуру проводимости или сопротивления Теперь условия самовозбуждения генератора можно записать как

Для выполнения этого условия вносимая проводимость должна быть отрицательной а ее величина при этом общая активная проводимость эквивалентной схемы рис. 4.5а

Общее активное сопротивление

отрицательно, если при знаменатель выражения (4.17) положителен, т. е. что эквивалентно условию (4.16).

Отрицательное активное сопротивление, как показано в § 2.3, является источником энергии переменного тока. Поэтому отрицательное общее активное сопротивление (или проводимость) схемы указывает на то, что [поступающая в нее энергия переменного тока превосходит расходуемую, за счет чего происходит увеличение амплитуды и энергии колебаний. Таким образом, объяснения самовозбуждения как следствия внесения энергии, компенсирующей затухание контура, или введения отрицательного сопротивления — совершенно идентичны.

Обратная связь, способствующая самовозбуждению колебаний, называется положительной. В рассмотренном случае она соответствует Если знак изменить на обратный, для чего достаточно поменять местами точки подключения одной из обмоток трансформатора, и станут положительными; затухание контура возрастет, и самовозбуждение станет невозможным. Обратная связь, затрудняющая самовозбуждение, т. е. увеличивающая устойчивость состояния равновесия, называется отрицательной. Следовательно, для создания автогенераторов необходимо использование положительной обратной связи.

Применение положительной обратной связи, меньшей критической приводит к увеличению общего эквивалентного сопротивления и добротности контура в соответствии с выражениями

Это используется для увеличения усиления и избирательности усилителей.

Эквивалентная схема генератора, определяющая условия самовозбуждения, нередко представляется в виде последовательного контура рис. 4.56, в котором действие обратной связи характеризуется вносимым сопротивлением схема соответствует (4.10), переписанному в соответствии с (4.11) в виде

где Условия самовозбуждения для схемы рис. 4.5б

Из анализа эквивалентных схем рис. 4.5 следует, что для самовозбуждения колебаний достаточно включить в контур такое отрицательное сопротивление, при котором общее активное сопротивление контура окажется отрицательным.

Одной из особенностей биполярных транзисторов является наличие во входной цепи активного элемента АЭ тока Учет входных токов АЭ усложняет анализ работы автогенератора, приводит к повышению порядка дифференциального уравнения, описывающего процессы в схеме.

В некоторых схемах учет влияния не повышает порядка дифференциального уравнения. Это, в частности, имеет место для схемы рис. 4.6а с контуром во входной цепи. Для рис. 4.6а

Определяем из первого уравнения и подставляем во второе

Рис. 4.6

Заменяя для малых амплитуд колебаний характеристики транзистора (входную и прямой передачи) касательными в рабочих точках, как показано на рис. 4.66, имеем причем Теперь дифференциальное уравнение приобретает вид

Следовательно, рассматриваемый генератор эквивалентен колебательному контуру с коэффициентом затухания

При наличии входного тока коэффициент затухания колебательной системы возрастает по сравнению со случаем из-за добавления потерь во входном сопротивлении. Поэтому для их компенсации требуется более сильная положительная обратная связь. Соответственно условие самовозбуждения можно записать как

причем определяемого (4.13).