1.4. СПЕКТРЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

Исходным для определения спектров колебаний при гармонической угловой модуляции является выражение (1.27). Примем для упрощения выражений и перепишем (1.27) в виде

Выражение (1.28) представляет сумму двух квадратурных колебаний частоты из которых каждое модулировано по амплитуде частотой Угловую модуляцию принято подразделять на узкополосную и широкополосную Наибольшее распространение в технике связи имеет широкополосная Начнем с определения спектра узкополосной угловой модуляции. Полагая имеем

а потому

Таким образом, спектр узкополосных сигналов угловой модуляции аналогичен спектру простейшего AM колебания, показанному на рис. 1.2. Он содержит компоненты несущей частоты и двух боковых частот Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является индекс модуляции Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, как и при AM: она равна удвоенной частоте модуляции.

Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от AM колебания, что является следствием различия в знаках (т. е. в сдвиге фаз на 180°) компонент нижней боковой частоты в выражениях (1.30) и (1.10). Это означает возможность преобразования AM колебания в узкополосное ФМ колебание поворотом фазы одной из боковых частот на 180°. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.8а построена векторная диаграмма AM колебания. Изменяя фазу нижней боковой частоты на 180°, получаем векторную диаграмму рис. 1.86, на которой конец вектора результирующего колебания перемещается с низкой частотой по горизонтальной линии, что соответствует изменению фазы При этом несколько изменяется и амплитуда Однако при изменение амплитуды пренебрежимо мало. Согласно рис. 1.8 б . Заменяя при малых тангенсы их аргументами, получаем изменение фазы соответствующее ФМ колебанию.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

При широкополосной угловой модуляции и выражения (1.29) и (1.30) несправедливы. Приходится спектр колебаний определять непосредственно из (1.28). Выражения являются периодическими функциями частоты а потому они могут быть разложены в ряды Фурье. Первая из этих функций является четной, вторая — нечетной. В теории бесселевых

функций [23] доказывается, что ряды Фурье для этих функций, имеют вид

где функция Бесселя первого рода порядка от аргумента На рис. 1.9 приведены графики функций Бесселя Подставляя (1.31) в (1.28), получим

Таким образом, спектр ЧМ и ФМ колебаний, модулированных гармоническим сигналом, оказывается дискретным, симметричным» относительно и содержащим бесконечное число боковых частот вида с амплитудами Для он построен на рис. 1.10. Соотношения между функциями Бесселя различных порядков, а следовательно, и между амплитудами различных боковых компонент определяются индексом модуляции При некоторых значениях отдельные компоненты могут исчезнуть (если Это же относится к амплитуде несущей щается в нуль при

Рис. 1.10

Наличие бесконечно большого числа боковых компонент спектра означает, что теоретически спектр ФМ и ЧМ колебания является бесконечно широким. Однако функция Бесселя начиная с некоторых быстро убывают с ростом что видно на рис. 1.9 и 1.10. Это позволяет ограничить полезный (практический) спектр таких сигналов определенным количеством боковых частот. При ограничении спектра необходимо учитывать влияние Двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ослабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих. На практике выбирают компромиссное решение.

Если ограничиться в спектре боковыми составляющими, амплитуды которых не превосходят от максимальной амплитуды спектральной компоненты (см. рис. 1.10), то для каждого можно рассчитать соответствующую ширину спектра. Она окажется несколько большей, чем Из рис. 1.10 следует, что при Для 4 ширина спектра При больших индексах модуляции (порядка десятков

и сотен) практическая ширина спектра, подсчитанная подобным образом, близка к удвоенной девиации частоты

Заканчивая рассмотрение вопроса о ширине спектра сигналов гармонической угловой модуляции, подчеркнем ее отличие от интервала частот в пределах которого происходит изменение мгновенной частоты сигнала:

1) теоретическая ширина спектра

2) практическое ее значение при оказывается а при несколько превышает и лишь приближенно считается равной ей (1.33).

Рассмотрим влияние параметров модулирующего сигнала на спектры ФМ и ЧМ колебаний, используя для определения ширины спектра приближенное выражение (1.33). При изменении амплитуды X модулирующего сигнала спектры ФМ и ЧМ колебаний изменяются одинаково. При возрастании X происходит пропорциональное увеличение индекса модуляции, спектры расширяются за счет увеличения числа спектральных компонент.

Изменение частоты модулирующего колебания по-разному влияет на изменение спектров ФМ и ЧМ колебаний. При ФМ изменение не влияет на величину индекса модуляции, а следовательно, и на число спектральных составляющих (рис. 1.11а, б).

Рис. 1.11

При ЧМ с уменьшением индекс модуляции увеличивается, что приводит к увеличению числа спектральных компонент (рис. 1.11 в, г). В итоге ширина спектра ЧМ колебания от частоты почти не зависит, а при ФМ изменяется пропорционально

Колебание, получающееся при угловой модуляции негармоническим сигналом можно записать в виде разности двух AM колебаний:

Для определения спектра каждого из этих AM колебаний нужно знать спектры их огибающих, т. е. Спектры при ФМ и ЧМ содержат те же частотные составляющие, что и первичный сигнал Поскольку являются нелинейными функциями аргумента спектры этих функций будут заметно отличаться от спектра они будут содержать составляющие кратных и комбинационных частот, возникающих при нелинейных преобразованиях (см. § 3.2). Соответственно эти компоненты будут перенесены в спектры боковых частот обоих AM колебаний (1.34).

В технике связи широко используется фазовая манипуляция переносчика с изменением фазы на 180°. Графики изменения фазы напряжения показаны соответственно на рис. 1.12а, Аналитическое выражение последнего соответствует (1.34), т. е. сумме двух квадратурных колебаний частоты каждое из этих колебаний обладает амплитудной манипуляцией

Рис. 1.12

Разложим огибающие этих колебаний в ряды Фурье, Так как Если то и первое из колебаний в (1.34) обращается в нуль. Огибающая второй компоненты где частота манипуляции. Из (1.34) получаем для

Амплитудный спектр сигнала (1.35) построен на рис. 1.12в: он содержит только боковые частоты вида (с нечетными ).