7.5. РАСЧЕТ НА ЭВМ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В НЕАВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Роль априорной информации. Рассмотрим теперь некоторые особенности машинного расчета стационарных режимов в нелинейных цепях. Следующие обстоятельства осложняют расчет таких режимов: 1) возможное отсутствие стационарного режима (в частности

периодического) при принятой идеализации цепи, например при выбранной аппроксимации нелинейных элементов; в этом случае машинный счет может продолжаться сколь угодно долго без положительного результата; 2) сосуществование нескольких стационарных режимов; при этом расчет на ЭВМ может привести к любому из них, если не принять специальные меры; 3) отсутствие сведений о частоте колебаний, если система автоколебательная.

Чаще всего машинный расчет стационарного режима производят «через переходный»; задают некоторые начальные условия и интегрируют дифференциальные уравнения цепи, получая решение для нарастающих значений времени При небольших это решение отображает переходный процесс приближения к стационарному (если последний существует), и лишь начиная с некоторого момента процесс можно считать стационарным.

Если априорная информация о цепи содержит сведения о том, что цепь конвергентна, то при любых воздействиях начальных условий машинный расчет всегда приведет нас к одному и тому же решению. «Неудачный» выбор начальных условий может лишь увеличить необходимое для расчетов машинное (время. Когда мы знаем, что цепь диссипативна, то при любом (конечно, устойчивом) процессе машинного счета исключено появление неограниченно больших значений в массивах чисел, образующих решение, т. е. исключен останов из-за переполнения разрядной сетки ЭВМ.

В случае периодического воздействия на цепь информация о диссипативности означает, что в конце счета будет достигнут действительно установившийся режим, так как хотя бы один такой периодический режим обязательно устанавливается в цепи. Когда же априорная информация о цепи, находящейся под периодическим воздействием, содержит указание одновременно и о конвергентности, и о диссипативности цепи, т. е. возможности реализации единственного устойчивого периодического режима, то можно быть уверенным, что, начав с любых начальных условий, мы придем при устойчивых вычислениях к одному и тому же искомому решению. В случаях, когда периодических или иных стационарных решений несколько, и расчет вновь идет через переходный процесс, чрезвычайно важно знать, при каких начальных условиях устанавливается тот или иной периодический режим. Например, если требуется рассчитать выходные колебания делителе частоты, отличающиеся начальными фазами (см. § 5.6), то в ЭВМ желательно вводить именно те начальные условия, которые приводят к колебанию с данной фазой. Поэтому на стадии задания априорной информации нужно хотя бы приближенно разбить множество начальных условий на области, обеспечивающие наступление того или иного периодического режима.

В заключение коснемся априорной оценки частоты автоколебаний в автономных системах. Точное значение этой частоты может быть получено лишь в результате самого машинного исследования (в частности, с учетом поправок за счет высших гармоник — см. § .4.4). Приближенная же величина может быть подсчитана

заранее по Собственным частотам контуров автогенератора. При расчете стационарных режимов также важна априорная оценка разброса постоянных времени, определяющая выбор метода интегрирования, о чем было сказано выше.

Два подхода к машинному расчету стационарных режимов. Один подход нам уже известен — это расчет через переходный процесс. Возможен и другой принцип расчета процессов в нелинейной цепи. Рассмотрим, например, расчет параметров автоколебаний в соответствии с методом медленно меняющихся амплитуд. Согласно (4.162) стационарный режим определяется решением уравнений:

Их можно решить на ЭВМ и найти параметры автоколебаний принципиально для сколь угодно сложных форм нелинейных характеристик, а не только для простых аппроксимаций.

Сопоставим эти два подхода. При расчете через переходный режим основным вычислительным процессом является интегрирование, продолжающееся до окончания переходного режима. Если стационарный режим устанавливается в исследуемой цепи медленно, что характерно для цепей с высокодобротными контурами, то даже при не очень малых шагах интегрирования машинный расчет займет много времени. С другой стороны, такой подход не требует никаких предположений о характере цепи; в частности, его можно использовать в случае сильно нелинейных цепей. Если же говорить о втором способе, то здесь основная задача вычисления состоит в решении системы нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. Длительного процесса интегрирования можно избежать. Заранее трудно сказать, какой из двух подходов приведет к меньшим вычислительным затратам; выбор должен делаться применительно к конкретной задаче. В последующей части этого параграфа будем иметь в виду только расчет через переходный процесс.

Критерии стационарности (правила останова интегрирования). В ЭВМ должно быть введено правило, в соответствии с которым машина должна принять решение об окончании переходного режима и наступлении стационарного. Таких правил известно несколько, но все они основываются на сопоставлении векторов решений на следующих друг за другом отрезках оси времени: Здесь период искомого-стационарного периодического решения уравнений (7.3). Напомним, что в неавтономных цепях может быть равно периоду воздействия быть кратным или субкратным То (при анализе делителя или умножителя частоты); определяться свойствами самой цепи, если она автоколебательная. В последнем случае на первых стадиях проверки стационарности используется приближенная априорная оценка периода автоколебаний.

После того как действуя в соответствии с введенным правилом, ЭВМ приняла решение о том, что стационарное решение

имеет место, интегрирование дифференциальных уравнений прекращается. Далее имеются две возможности: 1) прекратить вычисления и вывести на печать массивы чисел, отвечающие некоторым или всем компонентам вектора решения дифференциальных уравнений и вектора отклика на одном периоде некоторым предписанным заранее образом обработать эти массивы, например найти амплитуды и фазы гармоник решения в разложении Фурье, мощности различных составляющих, средние крутизны и т. п.

Правило, в соответствии с которым прекращается интегрирование, может быть названо также критерием стационарности. Чаще всего используются следующие критерии стационарности для

числа должны быть назначены заранее.

В первом случае вычисления строятся так. На отрезке временной оси, равном периоду в двух крайних точках вычисляются значения компонент вектора Иначе говоря вычисляются при Для каждого (т. е. на каждом периоде) вычисляется норма вектора, равного разности Далее эта норма сравнивается с заданным порогом 6 Если она меньше порога, интегрирование прекращается, если больше или равна ему, то интегрирование продолжается на следующем отрезке длины т. е. увеличивается на единицу, и т. д.

При использовании критерия (7.36) решение о стационарности выносится на основании анализа значений не в двух точках, разделенных интервалом длины а при сопоставлении двух массивов чисел, отвечающих решению на отрезке Это сопоставление связано с вычислением среднего квадрата разности между двумя частями решения для каждого т. е. для каждого компонента вектора Затем выбирается наибольший из интегралов (среди всех значений и он сравнивается с порогом .

Вычисления, связанные с критерием (7.35), конечно, проще, но имеют тот недостаток, что сильнее подвержены влиянию сбоев в ЭВМ: сбой в расчете всего лишь одного значения какой-либо компоненты вектора может привести к грубой ошибке в оценке стационарности. Выбор чисел связан с требованиями к точности вычислений и допустимому машинному времени, так как чем меньше тем дольше будет идти счет. Кроме того, при выборе порогов следует учитывать точность исходных данных цепи, вводимых в ЭВМ: если эта точность невелика, нет смысла делать очень малыми.

Некоторые способы сокращения машинного времени при расчете неавтономных цепей. Как уже было отмечено, в радиоэлектронных нелинейных цепях расчет стационарного режима через

переходный может быть связан с очень большими затратами машинного времени. Поэтому полезно хотя бы коротко рассмотреть некоторые способы сокращения этих затрат.

Один из самых простых способов состоит во введении переменного шага интегрирования. Точнее говоря, переходный процесс (информация о котором, как мы предполагаем, не представляет интереса) считается со сравнительно большим шагом, т. е. невысокой точностью (что и обеспечивает экономию времени), а стационарный отрезок решения — с малым Малость шага интегрирования при расчете стационарного режима должна гарантировать, требуемую точность. Однако для того чтобы этот прием не привел бы к грубым ошибкам, необходимо выполнить некоторые условия. В частности, следует обеспечить устойчивость процесса интегрирования при больших шагах. Нужно позаботиться и о том, чтобы большая ошибка при расчете переходного процесса не привела бы к отличному от искомого стационарному режиму. Последнее проще всего обеспечивается в случае конвергентности и диссипативности рассчитываемой цепи.

Второй распространенный способ сокращения машинного времени основан на рассмотрении условия периодичности искомого решения

как некоторого операторного уравнения относительно вектора начальных условий Из (7.9) следует, что вектор решения в точке т. е. будет

причем есть решение дифференциального уравнения Следовательно, на правую часть (7.38) можно смотреть как на некоторый оператор, ставящий в соответствие каждому начальному значению некоторое значение Попытаемся найти такое что указанный оператор будет переводить его снова в если теперь рассчитать решение на участке исходя из данного мы можем немедленно получить стационарное периодическое решение.

Для решения (7.37) относительно можно воспользоваться, например, методом Ньютона. Оказывается, что ньютоновские итерации часто приводят к цели быстрее, чем обычное интегрирование через переходный процесс.

Третий способ по своей идее близок к только что рассмотренному. Заметим сначала, что выражение в левых частях критериев стационарности (7.35) и (7.36) для периодического режима обращаются в нуль. Рассмотрим их соответственно при и учтем, что эти выражения являются функциями от

начального значения Зададимся и будем вычислять только на интервале каким-либо методом интегрирования, а затем рассчитаем, например, левую часть (7.36). Если неравенство (7.36) не выполнено, выберем новое и снова рассчитаем при после чего вновь проверим (7.36), и т. д. Периодическое решение считается найденным, когда (7.36) удовлетворено. Для выбора последующих векторов может быть использован какой-либо метод минимизации функции многих переменных, известный из курса вычислительной математики (ясно, что чем меньше левая тем лучше).

Заметим в заключение, что в двух последних методах расчета стационарного режима фактически обходятся без интегрирования на участке переходного режима.