7.2. УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В МАШИННОМ АНАЛИЗЕ

Формы уравнений, базирующиеся на уравнениях состояния. Вводится вектор независимых переменных состояния, т. е. токов через индуктивности и напряжений на конденсаторах или соответственно потоков и зарядов нелинейной щели:

Внешние воздействия характеризуются вектором определяемым лодвекгорами источников токов I и напряжений Е:

Предполагается, что отклики цепи снимаются с выходов (например, у четырехполюсника выход один, и . Вводится вектор представляющий собой совокупность функций времени, описывающих отклики цепи.

Тогда для большого числа цепей их уравнения сводятся к двум векторным соотношениям:

причем время входит явно в функции только в параметрических цепях. Если переменных состояния то (7.3) распадается на одномерных дифференциальных уравнений первого порядка; одномерных компонент уравнения (7.4) столько, сколько откликов цепи. Функции предполагаются однозначными. Во многих случаях (7.3) принимает вид

где А — матрица, составленная из постоянных величин; вектор-функция характеризует нелинейные свойства цепи; описывает внешнее воздействие. Иногда оперируют с более общим уравнением

Из приведенных уравнений видно, что отыскание откликов цепи на воздействие распадается на два этапа; 1) интегрирование (7.3) с целью расчета вычисление по найденному х и известному вектора откликов В случае параметрического воздействия следует учитывать зависимость правых частей (7.3) и (7.4) от явного времени

Например, генератору на ТД (см. рис. 4.17) отвечает следующая система уравнений;

Первые два уравнения, вытекающие из одного векторного уравнения, совпадают с (4.78) и (4.77); в третьем принято, что отклик цепи есть напряжение на нагрузке. В данном примере вектор состояния вектор воздействия

Хвозд

Формы уравнений, не разрешенные относительно производных первого порядка. Уравнение (7.3) характерно тем, что слева входит производная первого порядка вектора состояния, которая явно вычисляется по функции Формирование уравнений состояния требует специальных операций на ЭВМ.

Рис. 7.1

Однако требование записи уравнений в форме не является обязательным; существуют машинные методы, обеспечивающие интегрирование уравнений, не разрешенных относительно производных. Подобные уравнения получаются, например, при анализе того же генератора на ТД (см. рис. 4.17) методом узловых потенциалов. Выбирая в качестве базисного «заземленного» узла схемы нижний зажим источника в объединяя последовательно включенные индуктивности и сопротивления, получим схему рис. 7.1, на которой узлы пронумерованы. Уравнения составляют для узлов схемы, не связанных непосредственно с источником т. е. для узлов 2 и 3:

Подставляя сюда связи между токами и напряжениями на индуктивности емкости и учитывая (4.76), получаем систему двух нелинейных интегродифференциальных уравнений генератора:

рта система непосредственно интегрируется на ЭВМ и ее решения определяют потенциалы узлов е. функции Выходное напряжение после этого может быть также рассчитано.