4.4. КВАЗИЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД

СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ АВТОГЕНЕРАТОРА

Квазилинейный метод, как уже упоминалось, является основным инженерным методом анализа автогенераторов синусоидальных (точнее, почти синусоидальных) колебаний. На рис. 4.21 приведена обобщенная схема генератора с контуром в выходной цепи усилителя, активным элементом (АЭ) которого могут быть электронная лампа (триод, тетрод, пентод), биполярный или полевой транзистор. Благодаря значительной добротности (обычно порядка 50—200) колебательные контуры генераторов обладают большой избирательностью. Поэтому даже тогда, когда выходной ток усилителя сильно отличается от синусоидального из-за нелинейности АЭ, напряжения на контуре и на входе оказываются почти синусоидальными, лишь незначительно отличающимися от их первых гармоник

Рис. 4.21

Квазилинейный метод применяется для исследования автогенераторов и других устройств, в которых напряжения (или токи) мало отличаются от гармонических. Он состоит в замене соотношений между токами и напряжениями в схеме соотношениями между их первыми гармониками. Поскольку эти величины являются гармоническими одной частоты, их можно характеризовать комплексными амплитудами, связанными между собой комплексными уравнениями. Решая последние, можно определить амплитуды и частоты стационарных колебаний, условия самовозбуждения, исследовать переходные процессы и т. п.

Анализируемый генератор состоит из двух частей: нелинейной и линейной (контура и катушки связи). Запишем соотношения между комплексными амплитудами первых гармоник токов и напряжений. Нелинейный элемент будем характеризовать средней крутизной, определяемой отношением комплексных амплитуд тока в выходной цепи АЭ к амплитуде напряжения возбуждения на входе АЭ:

Вследствие нелинейности зависит от амплитуды Пренебрегая влиянием напряжения на ток получим из (4.99.)

Если первая гармоника тока совпадает по фазе с первой гармоникой напряжения возбуждения средняя крутизна оказывается действительной

Однако на практике выражение (4.101) может и не иметь места, например, при работе на достаточно высоких частотах, на которых в результате конечного времени прохождения носителей через прибор ток отстает по фазе от Поэтому в общем случае среднюю крутизну (4.99) следует считать комплексной.

Для линейной части схемы рис. 4.21 при имеем и

причем комплексный коэффициент обратной связи оказывается действительным. Произведение характеризующее линейную часть схемы, наеывают управляющим сопротивлением

Заметим, что напряжение на выходных зажимах активного элемента поэтому переменные составляющие напряжений находятся в противофазе:

В стационарном режиме должны одновременно удовлетворяться оба уравнения (4.100) и (4.102). Подставляя (4.100) в (4.102), получим комплексное уравнение генератора:

Оно имеет очевидный физический смысл: в стационарном режиме комплексный коэффициент передачи по замкнутому контуру генератора равен единице. Если воспользоваться (4.103), придем к иной форме комплексного уравнения генератора:

Представляя каждую из комплексных величин в показательной форме

можем записать уравнение (4.105) в виде

Уравнение (4.108) имеет место, если одновременно выполняются два условия:

Соотношения (4.109), (4.110) являются важнейшими в теории автогенераторов, определяющими параметры стационарного режима. Выражение называемое условием баланса фаз, означает, что в стационарном режиме сумма всех фазовых сдвигов по замкнутому контуру генератора равна нулю или целому числу Поскольку каждый из сдвигов фаз, входящих в выражение (4.109), зависит от частоты по-разному, в большинстве генераторов существует лишь одна частота на которой выполняется условие баланса фаз, т. е. на которой возможно генерирование колебаний. Таким образом, из условия баланса фаз определяется частота генерируемых колебаний. В схеме рис. а потому, если е. сдвига фаз в АЭ не происходит, то и При этом частота генерируемых колебаний равна резонансной частоте контура Если же имеется небольшой сдвиг фаз то частота генерируемых колебаний должна настолько отличаться от чтобы возникающий в контуре сдвиг фаз полностью компенсировал

Выражение (4.110), называемое условием баланса амплитуд, говорит о том, что в стационарном режиме коэффициент передачи по замкнутому контуру генератора равен единице. В этом условии две величины от амплитуды колебаний не зависят, а одна зависит от Следовательно, условие баланса амплитуд выполняется лишь при определенной амплитуде Для определения амплитуды стационарных колебаний удобно (4.110) переписать в виде

На рис. 4.22 построены зависимость называемая характеристикой средней крутизны, и прямая обратной связи, проведенная на уровне Точка пересечения этих зависимостей определяет стационарную амплитуду колебаний для которой выполняется условие баланса амплитуд. Если частота генерируемых колебаний равна резонансной частоте контура, то и условие баланса амплитуд

В случаях, когда часть сдвигов фаз (в 4.109) оказывается зависящей не только от частоты, но и от амплитуды колебания, определение амплитуды и частоты стационарных колебаний требует совместного решения (4.109) и (4.110).

Использованное выше уравнение (4.100) не учитывает влияния выходного напряжения усилителя на ток Более точные результаты получаются, если

считать, что ток является функцией управляющего напряжения где и заменить (4.100) на

Подстановка (4.112) и (4.104) в (4.102) приводит к комплексому уравнению генератора

или известному как условие Баркгаузена стационарного режима автогенератора. Учет влияния напряжения как следует из сопоставления (4.105) и (4.113), сводится к некоторому изменению величины коэффициента обратной связи до что не меняет характера основных зависимостей, а лишь несколько влияет на количественные соотношения.

Рис. 4.22

Рис. 4.23

При выводе (4.105) считалось, что входной ток Если (что характерно для биполярных транзисторов и электронных ламп, работающих с сеточными токами), целесообразно активный элемент считать идеальным с а его входное сопротивление рассматривать как нагрузку, включенную на выходе линейной части схемы. В таких случаях может оказаться более удобным комплексное уравнение генератора в виде (4.106). Если средняя крутизна величина действительная, a - комплексная, уравнение (4.106) разбивается на два действительных

обеспечивающих определение обоих параметров стационарных колебаний. При этом нелинейность входной характеристики АЭ можно характеризовать средним по первой гармонике входным сопротивлением

Соотношения, свойственные квазилинейному методу, могут быть получены и из нелинейного дифференциального уравнения генератора. Так, заменяя в (4.8) для схемы рис. 4.16 напряжение и ток их первыми гармониками и полагая, что первая гармоника тока может быть определена как получим уравнение

являющееся линейным для постоянной амплитуды напряжения Если в составе генератора имеется колебательный контур с большой добротностью, быстрые изменения амплитуды напряжения на нем (а следовательно, и оказываются невозможными. Поэтому даже во время переходных процессов установления колебаний можно рассматривать как величину постоянную в течение периода колебаний и медленно (мало) изменяющуюся от одного периода к другому. В стационарном

режиме генератор эквивалентен контуру с коэффициентом затухания -

Колебания будут незатухающими, если или

В этом случае эквивалентный контур не имеет потерь, частота колебаний в нем согласно (4.116) равна резонансной частоте выражение (4.118) совпадаете (4.111).

Уравнение (4.116) позволяет получить и новые результаты: исследовать устойчивость стационарного режима и вывести уравнение, пригодное для расчета переходных процессов .в генераторе. Предположим, по какой-то причине амплитуда колебаний оказалась большей, чем на величину При этом коэффициент затухания контура окажется отличным от нуля и амплитуда колебаний начнет изменяться пропорционально Стационарный режим будет устойчивым, если большая амплитуда станет затухать, т. е. если при величина окажется положительной. Для этого согласно (4.117) требуется, чтобы

или

Стационарный режим автоколебаний является устойчивым, если производная средней крутизны по амплитуде напряжения отрицательна. Таким образом, стационарный режим с амплитудой (на рис. 4.22) является устойчивым.

В колебательном контуре, описываемом уравнением

амплитуда колебаний изменяется по закону а потому

Подставляя в вместо а, получаем

Умножая обе части равенства (4.122) на и принимая во внимание, что определяет среднюю крутизну в стационарном режиме, которую обозначим здесь получим уравнение

переходного процесса генератора для произвольной зависимости

решение которого позволяет определить изменение амплитуды в процессе установления колебаний.