КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА

Графоаналитический критерий Михайлова предназначен для исследования устойчивости замкнутой системы по ее характеристическому уравнению (4.23). В случае сложных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, используемые по критерию Рауса — Гурвица выражения становятся громоздкими и ненаглядными, и в этих условиях преимущества критерия Михайлова оказываются особенно ощутимыми.

Для вывода критерия Михайлова перепишем левую часть характеристического уравнения (4.23) в виде

где корни характеристического уравнения Подставляя в правую часть получим

Каждый из сомножителей выражения (4.39) можно представить на комплексной плоскости вектором а весь характеристический многочлен — вектором

Обозначая

можем переписать (4.40) в виде

При изменении частоты каждый из векторов меняет положение. Величина характеризует направление результирующего вектора Рассмотрим, в каких пределах изменяются аргументы при изменении частоты от 0 до в различных случаях.

1. Корень действительный отрицательный. Для этого случая на рис. 4.7а отложены векторы При изменении на от 0 до вектор повернется на угол Поворот вектора против часовой стрелки считаем положительным, по часовой стрелке — отрицательным.

Рис. 4.7

2. Корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью При изменении от 0 до (рис. 4.76) углы поворота векторов оказываются равными соответственно где Суммарный поворот двух векторов

3. Корень действительный положительный. Изменение в от 0 до приводит к повороту (рис. на угол

4. Корни комплексные сопряженные с положительной вещественной частью При изменении от 0 до (рис. 4.7г) углы поворота векторов оказываются: Суммарный поворот двух векторов

Устойчивым системам соответствуют первые два случая, при которых среднее изменение каждого агумента при изменении частоты от 0 до оказывается равным

Состояние равновесия системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением порядка, является устойчивым, если при изменении частоты от 0 до вектор повернется на угол против часовой стрелки. Если угол поворота отличается от состояние равновесия неустойчивое.

В этом и состоит критерий Михайлова.

Траектории конца вектора е. годографы вектора называются кривыми Михайлова. На рис. 4.8а показан характер кривых Михайлова для устойчивых состояний равновесия в системах различного порядка.

Рис. 4.8

Точка, соответствующая для устойчивой системы, всегда лежит на оси абсцисс справа от начала координат, так как при из а согласно критерию Рауса — Гурвица в такой системе все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. В устойчивой системе вектор с ростом частоты поворачивается против часовой стрелки вокруг начала координат.

В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение с корнями Считаем все коэффициенты уравнения положительными, что, как отмечалось при изучении критерия Рауса — Гурвица, является условием необходимым, но недостаточным, для устойчивости состояния равновесия. Заменяя в характеристическом уравнении на ко, получаем

где

При Поэтому соответствует точка А на оси абсцисс (рис. 4.86), где При увеличении частоты от 0 до благодаря положительности всех коэффициентов уменьшается, стремясь к сначала возрастает (достигая максимума при а затем также уменьшается, стремять к Значит, при вектор попадает в третий квадрант. При этом могут получиться кривые Михайлова двух типов: охватывающие (кривая и не охватывающие (кривая II) начало координат.

Кривая I соответствует тому случаю, когда с увеличением со вектор сначала совпадает с осью у, что имеет место на частоте на которой

и лишь потом на более высокой частоте

совпадает с осью х, что имеет место, когда

Кривая I характеризуется условием (4.44). Возводя обе части неравенства (4.44) в квадрат и используя (4.43) и (4.45), приходим к выражению совпадающему с условием устойчивости (4 34) по критерию Рауса — Гурвица.

Кривая II характеризуется тем, что при увеличении вектор сначала на частоте совпадет с осью абсцисс а затем на более высокой частоте совпадает с осью ординат Следовательно, для кривой или что означает нарушение одного из условий устойчивости Рауса — Гурвица. Итак, кривая I соответствует устойчивому состоянию равновесия, кривая II — неустойчивому. Для любой из этих характеристик при обозначенный на рис. 4.86 угол что следует из выражения

Проследив теперь непосредственно по графикам рис. 4.86 за поворотом вектора при изменении (о от 0 до легко убедиться в том, что общий угол поворота вектора оказывается для кривой что соответствует устойчивому состоянию равновесия по критерию Михайлова; для кривой II угол что означает неустойчивость состояния равновесия.

Таким образом, как и следовало ожидать, оба метода оценки устойчивости (по критерию Рауса — Гурвица и Михайлова) дают одинаковые результаты.