4.6. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ, ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Метод фазовой плоскости является качественным методом интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, получившим широкое применение в радиотехнике и теории автоматического регулирования. При решении дифференциальных уравнений второго порядка появляются две постоянные интегрирования, для определения которых требуется задание двух независимых начальных условий. В качестве последних чаще всего используются значения функции и ее производной в некоторый момент Эти начальные условия могут быть заданы в виде координат плоскости состояний системы, характеризуемых величинами Плоскость х, у называется фазовой плоскостью. Последующее изменение координат плоскости происходит однозначно в соответствии с решением дифференциального уравнения, т. е. по определенной траектории на плоскости. Каждая точка этой траектории полностью определяет состояние системы в некоторый момент времени Уравнения рассмотренных выше автогенераторов, содержащих контур могут быть записаны в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Если исходное уравнение

то его также можно записать в виде двух уравнений первого порядка:

Уравнения (4.187) являются частным случаем уравнений (4.185), когда

Откладывая по координатным осям (рис 4.34) переменные х и у, получаем фазовою плоскость, точки которой определяют состояние системы. Начальным значениям на плоскости соответствует точка называемая изображающей, точкой, которая характеризует состояние системы в момент Так как х и у изменяются во времени согласно (4.185), к моменту изображающая точка переместится в (с координатами ). Траектория перемещения изображающей точки по фазовой плоскости называется фазовой траекторией.

Рис. 4.34

Скорость перемещения изображающей точки по фазовой траектории называют фазовой скоростью. В любой точке фазовой плоскости эта скорость направлена по касательной к фазовой траектории, а величина ее выражается через скорости изменения координат (4.185)

как

На рис. 4.34 в точке построен вектор фазовой скорости и его компоненты Направление перемещения изображающей точки, указываемое стрелкой, определяется знаками Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется фазовым портретом.

Для построения фазовых траекторий, т. е. зависимости нужно из уравнений (4.185) исключить время. Деля одно из этих уравнений на другое, получаем уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме:

Уравнение фазовой траектории может быть получено в результате интегрирования (4.191). Аналитически это удается сделать лишь в простейших случаях (см. ниже пример LC-контура без потерь). В большинстве случаев переменные в (4.191) не разделяются и расчет фазовых траекторий следует осуществлять численными методами на ЭВМ. Известны и графические методы расчета и построения фазовых траекторий: метод изоклин, дельтаметод, метод Льенара и др. [24, 2].

При построении фазовых траекторий нередко используются изоклины — линии, во всех точках которых угол наклона а касательной к фазовой траектории одинаков. Уравнение изоклины

где . Уравнение изоклины вертикальных касательных получается из (4.192) при

Уравнение изоклины горизонтальных касательных получается из (4.192) при

Если исходными уравнениями считаются (4.187) или (4.186), то согласно (4.188) и (4.193) касательные к фазовым траекториям будут вертикальными на оси абсцисс горизонтальными на линии Записав первое из уравнений (4.187) в виде убеждаемся в том, что в этом случае в верхней полуплоскости изображающая точка движется в направлении увеличения координаты х, поскольку при получаем в нижней полуплоскости в направлении уменьшения х, так как при

Среди многочисленных фазовых траекторий особое значение имеют те, которые определяют возможные состояния равновесия и режимы периодических колебаний. Уравнение (4.191) однозначно определяет касательную к фазовой траектории во кроме тех, в которых одновременно

Точки в которых выполняются условия (4.195), называются особыми точками. Фазовая скорость в особых точках равна нулю, поскольку производные и поэтому координаты изображающей точки во времени не меняются: Следовательно, особые точки фазовой плоскости соответствуют состояниям равновесия системы.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Свободные колебания в LC-контуре без потерь описываются уравнением

Решение этого уравнения соответствует гармоническому колебанию, амплитуда А и фаза которого определяются начальными условиями. Покажем, что метод фазовой плоскости приводит к тому же результату. Согласно (4.187) записываем исходное уравнение второго порядка в виде двух уравнений первого порядка:

Поделив почленно второе из этих уравнений на первое, получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий

Разделяя переменные и интегрируя, получаем уравнение фазовых траекторий

где С — постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Фазовые траектории, соответствующие различным значениям С, имеют характер вложенных друг в друга эллипсов (рис. 4.35а).

Фазовая скорость подсчитанная согласно (4.190) и (4.196), ни в одной точке эллиптических траекторий не обращается в нуль. Поэтому последние соответствуют периодическим колебаниям.

Рис. 4.35

Единственной особой точкой является начало координат Особая точка, охваченная фазовыми траекториями, имеющими характер вложенных друг в друга замкнутых кривых (эллипсов, окружностей и пр.), называется особой точкой типа центра. Такая особая точка характеризуется тем, что в случае возникновения небольшого отклонения от состояния равновесия в системе возникают небольшие ненарастающие колебания около этого состояния. Изменением масштаба по одной из осей можно превратить фазовые траектории в круговые. Для этого достаточно заменить х на Подставляя в (4.197), убеждаемся в том, что

При замене х на х, фазовые траектории Для различных С превращаются в концентрические окружности (рис. 4.356) радиуса

При движении по такой траектории фазовая скорость

оказывается постоянной во всех точках, а угловая скорость перемещения сражающей точки по любой фазовой траектории одна и та же. Это

означает, что при любых отклонениях от состояния равновесия в системе возникают гармонические колебания определяемые проекцией изображающей точки на ось абсцисс, амплитуда и фаза которых определяются начальными условиями (рис. .

Пример 2. Колебания в колебательном контуре с потерями описываются уравнением

где Переходные процессы в таком контуре имеют колебательный характер, если корни характеристического уравнения

комплексные, т. е. В последующем для упрощения выкладок считаем

Решение (4.198) при условии (4.200) имеет вид

где определяются начальными условиями, а частота свободных колебаний

Для определения характера фазовых траекторий воспользуемся решением (4.201). Дифференцируя его, получаем

На основании (4.200) пренебрегаем вторым слагаемым в квадратных скобках, принимая

Заменяя х на имеем

Для построения фазовых траекторий на плоскости обозначим

и перепишем (4.203) и (4.202) в полярных координатах:

Исключая из (4.204) время получаем уравнение фазовой траектории

соответствующее свертывающейся логарифмической спирали (рис. 4.36а). При иных начальных условиях получим другие спирали, сходящиеся к началу координат. Каждая спираль соответствует затухающему колебанию, построенному на рис. 4.36а. Начало координат соответствует устойчивой особой точке, ибо всякое отклонение от нее с течением времени затухает. Особая точка, охваченная фазовыми траекториями вида вложенных друг в друга закручивающихся спиралей, называется особой точкой типа устойчивого фокуса.

Если в (отрицательное затухание может быть следствием использования положительной обратной связи или введения отрицательного сопротивления), величина в (4.205) с течением времени будет возрастать, а потому фазовые траектории будут иметь характер раскручивающихся спиралей (рис. 4.366). Амплитуда таких колебаний будет нарастать по экспоненциальному закону, состояние равновесия окажется неустойчивым. Особые точки, охваченные фазовыми траекториями, имеющими характер

вложенных друг в друга раскручивающихся спиралей, называются особыми точками типа неустойчивого фокуса.

Пример 3. Процессы в контуре, описываемые (4.198), имеют апериодический характер. Корин характеристического уравнения (4.199) в этих условиях должны быть вещественными. Здесь возможны три случая:

1) , a - любое; корни действительные разных знаков:

Рис. 4.36

Если то с увеличением одна компонента выражений (4.206) стремится к нулю, вторая — к бесконечности. Следовательно, с течением времени система удаляется от состояния равновесия; последнее оказывается неустойчивым. Характер получающихся фазовых траекторий вблизи особой точки показаны на рис. 4.37а. Такая особая точка называется седлом.

2) ; корни действительные отрицательные. Величины каждого слагаемого в выражениях (4.206) стремятся к нулю.

Рис. 4.37

Любая изображающая точка с течением времени приближается к особой точке по апериодическому закону, как показано на рис. 4.376, особая точка устойчива. Такая точка называется устойчивым узлом;

3) ; корни действительные положительные. Оба слагаемых в выражениях (4.206) нарастают, в результате чего изображающая точка удаляется от состояния равновесия по апериодическому закону, как показано на рис. 4.37 в. Особая точка неустойчива и называется неустойчивым узлом.

Рис. 4.38

Зависимость характера особых точек от коэффициентов линейного уравнения (4.198) показана на рис. 4.38.

Рассмотренные примеры показывают, что вид фазовых траекторий вблизи особой точки полностью определяет ее устойчивость. В частности, если изображающая точка с течением времени удаляется от состояния равновесия, последнее является неустойчивым, если приближается к нему, то асимптотически устойчивым.

В случае нелинейных систем исследование характера фазовых траекторий вблизи особых точек совпадает с исследованием устойчивости состояний равновесия по Ляпунову (см. § 4.2), при котором нелинейная система второго порядка (4.69) для малых отклонений заменяется линейной (4.74). Поскольку (4.74) не отличается от рассмотренного здесь уравнения (4.198), особые точки для нелинейных цепей второго порядка могут быть только тех же шести видов: центр, устойчивый и неустойчивый фокус, устойчивый и неустойчивый узел и седло.

Фазовые траектории бывают разомкнутые и замкнутые. Последние заслуживают особого внимания. Если изображающая точка движется по замкнутой фазовой траектории и притом такой, что ни в одной ее точке не обращается в нуль, т. е. она не проходит через особую точку, то по прошествии некоторого определенного времени процесс (изменение х и у во времени) будет повторяться. Следовательно, такая фазовая траектория характеризует периодическое колебание с периодом

Замкнутые фазовые траектории, соответствующие возможным периодическим колебаниям, называются предельными циклами. Если соседние фазовые траектории с течением времени приближаются к предельному циклу, как показано ниже на рис. 4.39а, такой предельный цикл называется устойчивым, он соответствует устойчивому периодическому колебанию. Предельный цикл, от которого соседние фазовые траектории с течением времени удаляются, называется неустойчивым предельным циклом; он

соответствует неустойчивому периодическому режиму. В реальных системах могут существовать периодические колебания, соответствующие только устойчивым предельным циклам.