5.2. РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНОМ КОНТУРЕ

Нелинейным контуром называют колебательный контур, у которого хотя бы один из реактивных параметров является нелинейным. Рассмотрим параллельный контур рис. 5.1, содержащий нелинейную емкость -перехода. С такими контурами приходится встречаться в параметрических усилителях и умножителях частоты, в транзисторных усилителях, генераторах и пр.

Полагая добротность контура достаточно большой, можно ожидать, что при протекании через контур тока с частотой напряжение на контуре будет синусоидальным той же частоты

даже, если ток содержит еще и гармоники частоты Согласно § 2.5 ток в емкостной ветви определяется выражением

где дифференциальная емкость -перехода. Подстановка (5.2) в (5.3) дает

Рис. 5.1

Рис. 5.2.

Аппроксимируя относительно смещения в рабочей точке зависимость показанную на рис. 2.16, полиномом второй степени

с положительными коэффициентами и подставляя (5.5) и (5.2) в (5.4), получаем

Первая гармоника этого тока

Тот же ток может быть получен, если вместо нелинейной емкости включить эквивалентную (или среднюю по первой гармонике) емкость

Средняя емкость -перехода оказывается тем большей, чем больше амплитуда колебаний. Связано это с тем, что для рассматриваемой характеристики увеличение емкости в положительный полупериод напряжения и оказывается большим ее

уменьшения в отрицательный полупериод, что и приводит к увеличению При больших амплитудах этот эффект проявляется сильнее. Возрастание должно приводить к уменьшению резонансной частоты контура. Ее величина с учетом (5.6) определяется как

где

Полагая разлагаем (5.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми двумя слагаемыми

Таким образом, увеличение амплитуды вызывает уменьшение резонансной частоты по параболическому закону. На рис. 5.2 штрихпунктирной линией нанесена зависимость Если контур был бы линейным с емкостью Со, то частотные характеристики соответствовали бы изображенным пунктирными линиями.

Для определения характеристик нелинейного контура рис. 5.1 используем квазилинейный метод: нелинейную емкость заменим ее средним по первой гармонике значением (5.6). Очевидно,

откуда

Полагая добротность постоянной и определяя расстройку относительно частоты как

где получаем из (5.9) уравнения частотной и фазовой характеристик нелинейного контура:

При а потому

Уравнения (5.10) и (5.11) отличаются от таких же для линейного контура только тем, что расстройка Лео (17) отсчитывается от а не от фиксированной частоты Поэтому абсциссы частотных характеристик нелинейного контура (сплошные линии) получаются путем сдвига абсцисс характеристик линейного контура на величину изменения резонансной частоты для каждого значения В результате частотные характеристики оказываются несимметричными (симметричными относительно зависимости наклоненными влево тем сильнее, чем больше амплитуда тока При достаточно больших амплитудах I в некоторой области частот амплитуда оказывается

неоднозначной, что приводит к возникновению скачков амплитуды при плавном изменении частоты. Так, если снимать частотную характеристику рассматриваемого контура при путем увеличения частоты от то сначала напряжение изменяется в соответствии с кривой При частоте амплитуда скачком возрастает на величину при дальнейшем увеличении она плавно уменьшается по кривой Если теперь уменьшать частоту, то будет меняться по ветви при амплитуда скачком уменьшается на величину после чего она изменяется по ветви Следовательно, на частотной характеристике нелинейного контура, снятой при достаточно большой амплитуде тока I, встречаются участки скачкообразного изменения амплитуды; они ограничивают гистерезисную область, амплитуда колебания внутри которой зависит от способа установления частоты: путем увеличения или уменьшения со. Участок ветви экспериментально не может быть получен, так как соответствующие ему режимы неустойчивы.

Остановимся на некоторых соотношениях. Границы области неустойчивости определяются частотами в которых касательные к характеристике вертикальны: Подставляя (5.7) в (5.10), получаем из этого условия ординаты граничных точек

где

Гистерезисная область появляется, если амплитуда При два решения (5.12) сливаются в одно, что имеет место при Подставляя эти значения в (5.10), получаем

Следовательно, уменьшается при увеличении добротности контура и увеличении нелинейности. Исследование фазовых характеристик может опираться на (5.11) или уравнение

получающееся при подстановке (5.11) в (5.10). Продифференцировав обе части (5.14) по частоте

убеждаемся в том, что фазовая характеристика имеет вертикальные касательные на тех же частотах, что и частотная. Следовательно, скачки амплитуды сопровождаются скачками фазы.

На рис. 5.3 построены семейства нормированных частотных и фазовых характеристик нелинейного контура, рассчитанных по приведенным выше формулам. По осям ординат отложены а по оси абсцисс обобщенная расстройка Области неустойчивых режимов заштрихованы. Зависимость соответствует зависимости на рис. 5.2. Параметром характеристик является величина