4.5. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД

УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Данный метод, так же как и квазилинейный, применим в тех случаях, когда возникающее колебание близко по форме к гармоническому, что обычно имеет место при использовании в автогенераторе контура с достаточно высокой избирательностью. Уравнение, описывающее процессы в таких схемах, может быть записано, в виде

Подобными являются встречавшиеся ранее уравнения генератора с внешней обратной связью (4.8) и генератора на туннельном диоде (4.79). Если перенести в правую часть уравнения и добавить в обе части (где — частота генерируемых колебаний, которая может отличаться от получим

где

Как известно, чисто гармонические колебания вида являются решением уравнения контура без потерь

которое получается из (4.149) при В генераторах а потому решение (4.149), строго говоря, не может быть гармоническим.

Однако, когда близка к нулю, т. е. уравнение (4.149) мало отличается от (4.150), следует ожидать, что и решение этих уравнений различаются мало. Поэтому прежде чем применять метод медленно меняющихся амплитуд к исследованию уравнения вида (4.149), следует убедиться в малости по сравнению с другими слагаемыми. Рассмотрим в качестве примера уравнение генератора (4.8), заменяя на и. Полагаем, что генератор работает в мягком режиме, и аппроксимируем его вольт-амперную характеристику в рабочей точке выражением Подставляя крутизну в (4.8), получаем

где определяется из (4.11), a

Непосредственно по (4.151) установить, при каких условиях среднее слагаемое значительно меньше каждого из двух других

затруднительно, так как коэффициенты при переменной и ее производных не допускают сравнения вследствие их различной размерности. Замена переменной на безразмерную переменную имеющую смысл фазы колебаний, существенно облегчает рассмотрение вопроса. Подставляя

в (4.151) и обозначая получим с учетом (4.152) уравнение генератора в виде

Здесь затухание контура, величина взаимоиндуктивности, при которой происходит самовозбуждение колебаний; относительная расстройка. Теперь все переменные имеют одинаковую размерность, и в случае возникновения почти гармонических колебаний, близких к

все они имеют приблизительно одну и ту же амплитуду. Поэтому степень влияния каждого слагаемого уравнения (4.153) на характер получающегося решения определяется величинами соответствующих коэффициентов. Так, если обратная связь не очень велика и нелинейность сказывается не очень сильно (т. е. величина порядка единицы), то коэффициент при имеет порядок величины затухания контура (обычно Расстройка в генераторах в большинстве случаев очень мала поскольку близка к Таким образом, обычно уравнение генератора (4.153) мало отличается от уравнения контура без потерь, что позволяет искать его приближенное решение в виде (4.154).

Если в (4.149) перейти к «безразмерному времени»

Для уравнения (4.151)

При решение (4.155) является гармоническим колебанием вида (4.154) с периодом колебания При этом

Если но принимает достаточно малые значения, можно решение (4.155) или искать в виде (4.154) и (4.157), считая медленно меняющимися функциями времени. Предположение о медленности изменения амплитуды и

фазы колебания основывается на том, что в колебательных контурах относительное изменение этих величин за период колебаний оказывается порядка а поэтому при больших добротностях эти изменения действительно небольшие.

Поскольку из (4.154) производная

определение согласно (4.157) означает наложение дополнительного условия

Определяя теперь из (4.157) и подставляя полученное выражение, а также (4.154) и (4.157) в (4.155), имеем

Решаем совместно два последних уравнения, обозначая

До сих пор никаких ограничений на зависимости не накладывалось, поэтому (4.161) являются столь же точными, как и (4.155). Теперь наложим на эту систему ограничение: заменим скорости изменения в пределах периода колебаний средними скоростями их изменения, т. е. примем

что допустимо в случае медленности изменения этих величин, т. е. использования колебательных систем достаточно высокой добротности. Заменяя правые части (4.161) их средними значениями за период получаем

где

Уравнения (4.162) называются укороченными, или уравнениями медленно меняющихся амплитуд и фаз, поскольку они справедливы в тех случаях, когда медленно (мало) меняются за период колебаний. Из выражения (4.162) следует, что в общем случае в процессе установления колебаний, т. е. при изменении амплитуды А, происходит изменение и величины Следовательно, во время этого процесса мгновенная частота колебаний определяемая как

также меняется.

Величины являются коэффициентами при разложения функции в ряд Фурье. Это означает, что для получения укороченных уравнений нужно в правую часть нелинейного дифференциального уравнения (4.155) подставить разложить полученное выражение в ряд Фурье и приравнять величину коэффициенту ряда при и коэффициенту ряда при

Достаточно часто амплитуды первых гармоник функции можно получить с помощью элементарных тригонометрических преобразований. Так, в случае уравнения (4.151) из (4.156) имеем

Используя коэффициенты при получаем укороченные уравнения

или, возвращаясь к времени

Переходим к исследованию укороченных уравнений.