4.3. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Как было показано выше, процессы, происходящие в автоколебательных системах, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Точных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений (за редким исключением) не существует. В связи с этим было разработано большое количество разнообразных методов приближенного анализа нелинейных цепей. Каждый метод обладает определенными преимуществами при решении некоторых задач, уступая другим в иных случаях. Даже при исследовании одной и той же схемы автогенератора в зависимости от режима его работы, интересующих нас вопросов, от требуемой точности и наглядности решения приходится применять различные методы.

Наиболее распространенными методами являются: метод линеаризации; квазилинейный метод (метод гармонической линеаризации); метод медленно меняющихся амплитуд; метод фазовой плоскости; метод малого параметра; метод математического моделирования. Каждый из этих методов обладает рядом разновидностей.

Метод линеаризации заключается в замене нелинейных зависимостей линейными, что возможно только для малых возмущений (отклонений). Применяется в основном при исследовании условий устойчивости и условий самовозбуждения. Для исследования поведения системы при больших амплитудах (стационарные автоколебания, переходные процессы) не пригоден. Этот метод использовался в § 4.2.

Квазилинейный метод, получивший наибольшее распространение для инженерных расчетов стационарных режимов автогенераторов (пригоден и для изучения переходных процессов), основан на исследовании соотношений между

первыми гармониками токов и напряжений и замене нелинейного элемента эквивалентным линейным, характеризуемым средним по первой гармонике параметром. После такой замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может исследоваться методами линейной теории (например, методом комплексных амплитуд). Нелинейность схемы проявляется в зависимости среднего параметра от амплитуды. Квазилинейный метод применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим.

Квазилинейный метод разработан Ю. Б. Кобзаревым, другой его вариант — С. И. Евтяновым; в последнее десятилетие благодаря работам Е. П. Попова, Л. С. Гольдфарба и других получил широкое развитие в теории автоматического регулирования под названием метода гармонической линеаризации.

Метод медленно меняющихся амплитуд, так же как и квазилинейный, пригоден для исследования колебаний, близких по форме к синусоидальным. Такие колебания в большинстве случаев являются следствием использования высокодобротных контуров. Для последних характерно сравнительно медленное изменение во времени амплитуды и фазы колебаний (малое относительное изменение этих параметров за период колебаний). Использование этой особенности позволяет упростить и понизить порядок нелинейного дифференциального уравнения, описывающего работу схемы.

Метод широко используется при исследованиях разнообразных нелинейных систем, в том числе при анализе стационарных и переходных процессов в автогенераторах.

Метод медленно меняющихся амплитуд впервые был предложен и применен для исследования автогенераторов голландским физиком Ван дер-Полем. В последующем трудами советских ученых (Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, К. Ф. Теодорчика и др.) был создан ряд разновидностей этого метода.

Метод фазовой плоскости является графическим методом, используемым для анализа стационарных и переходных процессов по интегральным кривым нелинейного дифференциального уравнения второго порядка Метод является более общим, чем упомянутые выше, пригоден для исследования как синусоидальных, так и несииусоидальных (релаксационных) колебаний Недостатки метода состоят в необходимости выполнения трудоемких построений и отсутствии аналитических решений.

Метод фазовой плоскости был разработан для решения задач небесной механики выдающимся французским математиком А. Пуанкаре и развит применительно к задачам радиотехники А. А. Андроновым и другими.

Метод малого параметра основан на отыскании решения нелинейного дифференциального уравнения в виде ряда по степеням малого параметра. Метод пригоден для определения параметров стационарных колебаний. Используется при теоретических исследованиях автоколебаний.

Метод первоначально также был разработан для изучения движения плане (А. Пуанкаре и другие). Дальнейшее его развитие связано с работами А. А. Андронова, Л. И. Мандельштама, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и других советских ученых.

Математическое моделирование основано на формировании уравнений, описывающих процессы в нелинейных цепях, в виде, удобном для решения на вычислительной машине, и выполнении исследований с ее помощью. Преимущества этих методов возрастают по мере повышения порядка нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы. Нередко они являются единственно возможными.

В следующих параграфах рассматриваются основные черты наиболее распространенных методов (квазилинейного, медленно меняющихся амплитуд, фазовой плоскости), а также вытекающие из их применения общие особенности автогенераторов. Вопросы машинного анализа нелинейных цепей вынесены в гл. 7.