КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Для определения устойчивости состояния равновесия необходимо выяснить, как ведет себя система при малых отклонениях от него. Выше было показано, что эта задача обычно является линейной, поскольку при ее решении нелинейные зависимости заменяются линейными. Обозначим через у малое отклонение какой-либо величины (тока, напряжения, заряда...) от значения, имеющего место в состоянии равновесия. Будем считать, что поведение системы при малых значениях у описывается линейным дифференциальным уравнением порядка

Решение линейного уравнения можно искать в виде суммы слагаемых вида

Подставляя (4.22) в (4.21), получаем характеристическое уравнение

имеющее корней. Решение (4.23) можно записать как сумму слагаемых (4.22):

где постоянные определяются из начальных условий, а являются корнями характеристического уравнения (4.23). В общем случае характеристическое уравнение обладает действительными корнями и парами комплексно-сопряженных корней Если среди общего числа корней действительными окажутся то общее решение (4.24) можно представить в виде суммы экспоненциальных и осциллирующих членов

где представляет собой сумму двух слагаемых (4.24) с комплексно-сопряженными корнями.

Характер процессов, соответствующих (4.25), может оказаться весьма сложным. В общем случае изменение у происходит по апериодическому закону, на который накладываются процессы колебательного характера с нарастающими, затухающими или неизменными амплитудами различных частот. Отклонение, вызванное апериодическим слагаемым с монотонно возрастает, а с монотонно уменьшается. Аналогично амплитуда каждого колебательного процесса с течением времени неограниченно возрастает, если и затухает, если

Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, отклонение у от состояния равновесия стечением времени затухает, благодаря чему состояние равновесия является устойчивым. Если хотя бы один из корней (например, ) имеет положительную вещественную часть, а остальные отрицательную, то слагаемых в (4.24) с течением времени приближаются нулю, тогда как слагаемое неограниченно возрастает, уводя систему в целом все дальше от состояния равновесия.

При некоторых комбинациях коэффициентов все корни характеристического уравнения (4.23) имеют отрицательные вещественные части. Весьма заманчиво установить соотношения, при которых это имеет место, ибо тогда можно будет судить об устойчивости состояния равновесия, не решая соответствующих дифференциальных уравнений. По существу, все критерии устойчивости представляют собой выраженные в той или иной форме условия, при которых все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Наиболее широкое распространение получили критерии Рауса — Гурвица, Найквиста и Михайлова, к изучению которых мы переходим.