КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА

Критерий Найквиста решает вопрос об устойчивости состояния равновесия замкнутой цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи: по ее амплитудно-фазовой характеристике (АФХ).

Представим цепь с внешней обратной связью (см. рис. 4.2 или 4.3) в виде четырехполюсника рис. 4.9а; его входное сопротивление считаем Разомкнем цепь обратной связи, позаботившись о том, чтобы режим работы четырехполюсника остался прежним; для этого подключим на его выходе сопротивление нагрузки, равное как показано на рис. 4.96.

Рис. 4.9

Свойства разомкнутого четырехполюсника в последующем будем характеризовать его комплексным коэффициентом передачи

определяемым отношением комплексных амплитуд выходного и входного напряжений. Траектория конца вектора на

комплексной плоскости, получающаяся при изменении частоты от 0 до годограф вектора К называется аплитудно-фазовой характеристикой четырехполюсника.

Схема рис. 4.9а при малых амплитудах колебаний описывается линейным дифференциальным уравнением порядка

Подстановка в приводит к характеристическому уравнению Уравнение (4.47) можно записать как

Разомкнутая система рис. 4.96 описывается дифференциальным уравнением

которое в случае комплексного может иметь порядок более высокий, чем уравнение (4.47). Пусть Обозначая запишем (4.49) в виде

Уравнение является характеристическим уравнением разомкнутого четырехполюсника, определяющим его поведение при В дальнейшем считаем разомкнутый четырехполюсник устойчивым, что имеет место, если все его корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Если замкнуть цепь обратной связи, то и (4.50) сведется к из сопоставления которого с (4.48) следует, что

при любых

Если на входе разомкнутого четырехполюсника действует гармоническое напряжение то и из (4.50) можио определить комплексный коэффициент передачи (4.46) как

С учетом (4.51)

Здесь согласно При выводе критерия Михайлова было показано, что каждый из векторов , в котором величина действительная отрицательная, при изменении частоты от 0 до поворачивается в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол а векторы у которых комплексные сопряженные с отрицательными вещественными частями, в среднем поворачиваются на тот же угол. Если имеют положительные вещественные части, то поворот векторов происходит на такие же величины, но в противоположном (отрицательном) направлении. Поэтому, если из общего числа корней уравнения корней имеют отрицательные вещественные части, а положительные то при изменении от 0 до вектор поворачивается на угол

Так как все корни вектора имеют отрицательные вещественные части (условие устойчивости разомкнутой цепи), то общий угол поворота вектора

Критерий Найквиста доказывается для случая одинаковых степеней полиномов что соответствует омическому сопротивлению При этом и

Система устойчива в замкнутом состоянии, если все корней характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. При этом Следовательно, состояние равновесия замкнутой системы является устойчивым, если при изменении а от 0 до угол поворота вектора равен нулю На рис. 4.10 сплошные линии представляют амплитудно-фазовые характеристики комплексной функции Согласно сформулированному здесь критерию рис. 4.10а соответствует неустойчивому состоянию равновесия, поскольку при обходе АФХ угол рис. 4.106 и в соответствуют устойчивым состояниям равновесия, ибо для них

Переход от АФХ функции к АФХ функции осуществляем согласно (4.53): сначала на рис. 4.10 наносим пунктирными линиями АФХ функции а затем сдвигаем их вправо на 1, что приводит соответственно к рис. 4. Точка плоскости переходит в точку плоскости К. Поэтому величина на плоскости К равна полному углу поворота радиуса-вектора V, проведенного из точки в точку при изменении со от 0 до

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Годографы вектора построенные на рис. 4.11, являются АФХ разомкнутого четырехполюсника рис. 4.96.

Теперь сформулируем критерий Найквиста: состояние равновесия замкнутой системы является устойчивым, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (1,0). Следовательно, рис. 4.11а соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а рис. 4.116 и в устойчивым.

В большинстве случаев АФХ коэффициента передачи К представляет замкнутую кривую, проходящую через начало координат из-за того, что при При это имеет место, например, если одни части схемы отделены от других разделительными конденсаторами; при это является следствием наличия у любого прибора выходной емкости, включенной параллельно нагрузке.

Строго говоря, рассмотренный метод пригоден лишь для анализа устойчивости линейных цепей. В [22] показано, что данный метод можно применять и для приближенного определения стационарных режимов автоколебаний и их устойчивости в автоколебательных системах, характеризующихся медленным малым за период колебаний) изменением амплитуды. Для этого нужно снять и построить семейство АФХ при различных амплитудах входного сигнала, определяя как средний по первой гармонике коэффициент передачи усилителя (см. § 2.3). В большинстве случаев величина уменьшается с ростом амплитуды Поэтому снятые при разных оказываются вложенными друг в друга, как показано на рис. 4.12.

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Поскольку автоколебания начинаются с малых амплитуд состояние равновесия такой системы является неустойчивым, колебания в ней должны нарастать и притом на частоте на которой фаза коэффициента передачи Когда амплитуда достигнет в схеме установятся стационарные автоколебания, соответствующие точке . Если АФХ снимать при большой амплитуде то может быть сделан неправильный вывод о том, что состояние равновесия является устойчивым. Поэтому для оценки устойчивости состояния равновесия нелинейной цепи АФХ следует снимать при малой амплитуде входного сигнала.

В усилителях и автогенераторах годографы обычно имеют характер кривых, приведенных на рис. 4.11а, и 4.12: они оказываются замкнутыми и притом такими, что если годограф пересекает ось абсцисс в точке то и состояние равновесия оказывается неустойчивым. В таких условиях возможен более простой аналитический подход к оценке устойчивости состояния равновесия.

На рис. 4.13 приведена схема усилителя с обратной связью, в ней а поэтому комплексный коэффициент передачи схемы с обратной связью

При (короткое замыкание на входе) схема рис. 4.13 сводится к схеме рис. 4.3 и произведение равно коэффициенту передачи напряжения по замкнутой цепи генератора рис. 4.3 или 4.9а. Обозначим Тогда условие пересечения годографом оси абсцисс при можно записать в виде двух условий: условия баланса фаз

определяющего частоту на которой коэффициент передачи становится действительным, и амплитудного условия

Самовозбуждение колебаний в усилителе происходит, если при соблюдении условия баланса фаз (4.57) знак неравенства в (4.58) меняется на обратный.

Для иллюстрации критерия Найквиста рассмотрим определение условий самовозбуждения генератора рис. 4.16. Размыкая схему в точках, обозначенных крестиками, и принимая получим эквивалентную схему рис. 4.14а. Считаем схему для малых амплитуд напряжения линейной с крутизной в рабочей точке и пренебрегаем влиянием напряжения на контуре на ток тогда комплексная амплитуда его первой гармоники

Рис. 4.14

Напряжение на контуре на любой частоте где - обобщенная расстройка контура. Выходное напряжение Комплексный коэффициент передачи схемы рис. 4.14а равен

Из (4.59) получаем выражения фазовой и частотной характеристик:

Здесь коэффициент передачи при е. на частоте, равной резонансной частоте контура

Построение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цепи иллюстрирует рис. 4.146. Задаваясь различными значениями частоты из получаем а затем согласно (4.61) определяем К как проекцию вектора Ко на линию, идущую под углом к оси абсцисс. Линия, прочерчиваемая концом вектора при изменении в от 0 до и будет В рассматриваемом случае она проходит через вершины прямоугольных треугольников, а потому оказывается окружностью диаметра Ко- По критерию Найквиста условие самовозбуждения генератора будет или с учетом что совпадает с условием самовозбуждения (4.13), полученным из решения дифференциального уравнения генератора. Частоту возникающих колебаний определим, приравнивая нулю (4.60):

Критерий Найквиста широко используется при оценке устойчивости усилителей и других устройств. Достоинством его является то, что он не требует составления подчас весьма сложных дифференциальных уравнений исследуемых устройств, а оперирует с частотными и фазовыми характеристиками отдельных звеньев системы, почти всегда определяемыми расчетным или экспериментальным путем при проектировании каждого устройства. В то же время он является менее общим, чем критерий Михайлова, так как оказывается непригодным в случае неустойчивой разомкнутой цепи, а также тогда, когда порядок дифференциального уравнения разомкнутой цепи выше, чем замкнутой.