7.4. РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ

Широкий круг вопросов, относящихся к расчету нелинейной цепи, связан с изучением динамики цепи, т. е. изменением во времени токов, зарядов, напряжений и т. п. Для установления этих вопросов приходится интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения цепи, рассмотренные в § 7.2. Ознакомимся с некоторыми формами и характеристиками методов интегрирования, связанными с особенностями цепей. Поскольку априорная информация о свойствах исследуемой цепи играет важную роль как при выборе метода интегрирования, так и его параметров, этот выбор должен производиться инженером, решающим задачу расчета цепи.

Методы интегрирования дифференциальных уравнений можно разбить на явные и неявные. Явные характерны тем, что значение решения на некотором шаге итеративного процесса явно выражается через значения решения на предыдущем шаге (или шагах) в форме некоторого разностного соотношения. Неявные же методы требуют для расчета «нового» значения интеграла (т. е. интеграла на «новом» шаге) решения некоторой системы недифференциальных уравнений. Происходит это потому, что соответствующее разностное соотношение неявно определяет искомую величину.

Поясним это на примере одного из самых простых методов интегрирования — метода Эйлера (только этим методом мы и

ограничимся в дальнейшем). Пусть интегрируется уравнение состояния (7.3), которое запишем теперь

Поскольку внешнее воздействие известным образом зависит от времени то эта зависимость может быть учтена в функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения, и аргумент можно явно не указывать. Новая функция в правой части для простоты обозначена в (7.9) так же, как и в (7.3), т. е. через

Из курса вычислительной математики известно, что решение векторного уравнения (7.9) задается как последовательность векторов где шаг интегрирования. Сокращенно эта последовательность может быть обозначена как где прямые скобки указывают на дискретный характер переменной

В явном методе Эйлера значение решения на шаге явно выражается через решение на предыдущем шаге:

В простейшей форме неявного метода Эйлера имеем

Здесь определяемый вектор входит в уравнение не только слева, как в (7.10), но и под знаком функции Если эта функция нелинейна, то (7.11) есть нелинейное алгебраическое или трансцендентное уравнение относительно и решать его приходится на каждом шаге интегрирования.

Казалось бы, последнее обстоятельство указывает на нецелесообразность применения неявного метода Эйлера (как и других неявных методов) при расчете нелинейных цепей из-за роста вычислительных затрат. Однако во многих задачах радиоэлектроники оказывается, что именно неявные методы интегрирования обеспечивают сокращение затрат на вычисления.

Чтобы уяснить это, вспомним, что подразумевается под устойчивостью вычислительного процесса — в нашем случае под устойчивостью процесса интегрирования. Известно, что всякий процесс вычислений подвержен действию своеобразных «помех» — ошибок, вызванных разными причинами. Для нас важнейшими из этих причин являются две: округление чисел в ЭВМ и то обстоятельство, что формулы интегрирования являются приближенными, причем точность приближения зависит от шага Чем меньше шаг тем при прочих равных условиях меньше ошибка, называемая ошибкой усечения. Наоборот, ошибка, вызванная округлением, падает с ростом шага Качественно зависимость ошибок округления (1) и усечения (2) и суммарной ошибки (5) от шага изображены на рис. 7.2.

Как известно, при некоторых условиях действие ошибок, сопровождающих вычисления на каждом шаге, накапливается; в

таких случаях говорят, что вычислительный процесс «теряет устойчивость». При этом обычно оказывается, что приближенное решение дифференциального уравнения даже качественно не отвечает точному решению (пример см. на рис. 7.3, где цифрами 1 и 2 обозначено соответственно точное и приближенное — при потере устойчивости — решения некоторого дифференциального уравнения).

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Попытаемся выяснить [19] условия устойчивости процесса интегрирования и их связь с параметрами цепи. Ограничимся для простоты случаем линейной цепи, однако и он весьма поучителен. Кроме того, допустим, что цепь — автономная, т. е. внешние воздействия к ней не приложены; поэтому правая часть (7.9) не зависит от Данное ограничение не является существенным, так как во многих случаях условия устойчивости можно определить по автономной модели [19].

Поскольку цепь принята линейной с постоянными во времени параметрами, то в (7.9)

где А — квадратная матрица, составленная из констант; она полностью характеризует линейную цепь. Иными словами, (7.9) соответствует системе линейных дифференциальных уравнений:

Критерий устойчивости явного метода Эйлера. Рассмотрим сначала устойчивость явного метода Эйлера. Подставив (7.12) в основной явный алгоритм (7.10), получим

где 1 — единичная матрица. Далее обозначим

Эта матрица, как видно из (7.14), полностью определяет алгоритм интегрирования; он зависит от шага и свойств цепи,

отображаемых матрицей А. Итак, следующее значение вектора решения получается из предыдущего таким образом:

Напомним (см. § 7.3), что собственное число некоторой матрицы V обозначается . Как доказывается в теории матриц, выражается через так:

Теперь нам понадобятся два факта из общей теории устойчивости. Первый относится к устойчивости цепей и, по существу, уже известен нам из § 4.2, но будет приведен здесь в иной форме. Критерий устойчивости линейной цепи, характеризуемой матрицей А, таков: действительные части всех собственных чисел матрицы А должны быть отрицательны. Иными словами, если

то для всех должно быть

Второй факт относится не к исследуемой цепи, а к алгоритму (7.16). Чтобы процесс интегрирования по (7.16) был устойчивым, т. е. чтобы не было неограниченного накопления действия ошибок, должно выполняться условие: модули всех собственных чисел матрицы (не А!) должны быть менее единицы.

Подставив (7.18) в (7.17), получим собственное число и его модуль

Условие устойчивости интегрирования будет

Для устойчивой цепи (когда все получаем из (7.22)

Итак, интегрирование будет устойчивым, если шаг интегрирования не превосходит некоторого критического шага Величина очевидно, равна наименьшей из всех правых частей (7.23). Критический шаг определяется тем собственным числом матрицы А, которое приводит к наименьшему выражению Чтобы сделать более ясным физический характер этого результата и вытекающие из него следствия, предположим, что все собственные числа А чисто вещественны: для всех Обозначим наибольшее через стах, а наименьшее — через Введем теперь постоянные времени цепи с помощью выражений (7.8)

Минимальному по абсолютной величине собственному числу отвечает максимальная постоянная времени и наоборот.

Возвращаясь к основному соотношению (7.23) при получаем для всех или

где

Итак, при явном методе Эйлера критический шаг, который нельзя превосходить из-за необходимости обеспечения устойчивости процесса интегрирования, равен удвоенной минимальной постоянной времени.

Расчет нелинейной цепи устойчивым явным методом Эйлера. Пусть сначала рассматривается переходный режим нелинейной цепи. Если все собственные числа вещественны, то длительность переходного процесса Тпер определяется максимальной постоянной времени Можно считать, что Гпер по порядку равна нескольким например Найдем число шагов интегрирования, необходимое для окончания расчета переходного процесса: минимальное число шагов отвечающее наибольшему шагу, т. е. будет

Величина обычно называется разбросом постоянных времени. Поэтому мы можем сказать, что число шагов при расчете переходного режима по порядку равно разбросу постоянных времени.

Соотношение (7.27) определяет число шагов из соображений, связанных с устойчивостью процесса интегрирования, когда шаг не может превышать Но шаг определяется еще и ошибками интегрирования. Возвращаясь к рис. 7.2, замечаем, что для уменьшения ошибки интегрирования целесообразно выбирать шаг обращающий суммарную ошибку в минимум. При этом число шагов Мпер обычно получается большим из-за малости шага. С другой стороны, вводимые в ЭВМ данные сами имеют погрешность, как правило, большую, чем та, которой отвечает шаг Эти и некоторые другие соображения позволяют задать уровень ошибки 4 (см. рис. 7.2) большим минимального. Это отвечает двум шагам: Целесообразно выбрать конечно, шаг как больший. Таким образом, требования, связанные с допустимой ошибкой, приводят к шагу а соображения устойчивости — к шагу Во многих случаях, особенно относящихся к высокочастотным радиоэлектронным цепям:

Поэтому не погрешность расчета, а устойчивость процесса интегрирования определяет величину шага, и число шагов составляет по (7.27).

При большом разбросе постоянных времени число шагов и машинное время, необходимое для расчета переходного процесса на ЭВМ, могут стать недопустимо большими даже при высокопроизводительных современных ЭВМ. В высокочастотных устройствах, содержащих одновременно узкополосные фильтры и контуры и сравнительно широкополосные тракты (например, разделительные С-цеп очки), нередко получаются Явные методы интегрирования (не только метод Эйлера) оказываются при этом неприменимыми.

До сих пор рассматривался расчет переходного режима. Пусть теперь к нелинейной цепи приложено периодическое воздействие периода и требуется определить стационарный периодический режим цепи. По соображениям достаточной точности интегрирования можно выбрать коэффициент а, как показывает опыт расчетов, часто лежит в диапазоне Минимальная же постоянная времени цепи Ттгп, определяющая критический шаг, в высокочастотных цепях нередко оказывается В результате снова приходим к неравенству (7.28); необходимое число шагов интегрирования за период оказывается Обычно приходится рассчитывать многие периоды решения, т. е. расчет ведется на интервале порядка многих (см. ниже § 7.5), поэтому в стационарном случае явные методы часто непригодны.

Затруднения, возникающие при применении явных методов, когда разброс постоянных времени велик, объединяют термином «проблема постоянных времени».

Устойчивость неявного метода Эйлера. Обратимся к алгоритму неявного метода Эйлера (7.11) и опять ограничимся случаем линейной цепи (7.12), (7.13). Подставив (7.12) в (7.11), получим

т. е. уравнение относительно Рассматриваемая цепь линейна, поэтому решается оно без труда:

Умножая обе части (7.30) слева .на матрицу, обратную получим выражение для решения на «новом» шаге через решение на предыдущем:

Введя обозначение

представим (7.31) в форме, аналогичной соотношению (7.16):

Таким образом, матрица полностью определяет алгоритм интегрирования уравнения нелинейной цепи неявным методом Эйлера; заметим, что теперь, чтобы найти требуется обратить некоторую матрицу на ЭВМ. Как показано в теории матриц, собственное число для находится в силу соотношения (7.32) по формуле

Полагая, как и ранее в (7.18), собственное число матрицы в общем случае комплексным, найдем модуль числа

Если сама исследуемая цепь устойчива, т. е. все то все

Отсюда следует, что условие устойчивости процесса интегрирования линейных уравнений неявным методом Эйлера выполняется всегда, т. е. при любом шаге

Следовательно, при выборе шага можно руководствоваться только соображениями, связанными с погрешностью интегрирования (см. рис. 7.2). Как мы видели выше, это означает, что шаг может быть выбран гораздо большим, чем тот, который обусловливался требованиями устойчивости и который характерен для явных методов.

О выборе метода интегрирования (резюме). При выборе метода интегрирования нелинейной цепи необходимо прежде всего оценить порядок разброса постоянных времени хотя бы в грубом линейном приближении. Если этот разброс велик безусловно должны применяться неявные методы. В сложных или сильно нелинейных цепях оценка постоянных времени затруднена; в этом случае целесообразно из осторожности также использовать неявные методы.

Неявные методы позволяют работать со сравнительно большими шагами интегрирования и это часто компенсирует необходимость разрешения уравнений типа (7.11) относительно

Отметим, что при использовании неявных методов нет необходимости формировать уравнения нелинейной цепи в форме (7.3) — (7.4), а можно использовать непосредственно «неявные» уравнения рассмотренные в § 7.2.