5.4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД К АНАЛИЗУ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

Будем рассматривать этот метод на примере схемы рис. 5.7, находящейся под воздействием тока Схема представляет автогенератор, если НЭ при малых амплитудах колебаний обладает отрицательной проводимостью такой величины, что регенератор, если при нелинейный контур, если используется реактивный НЭ. Согласно первому закону Кирхгофа

Производя дифференцирование и деля все слагаемые на С, имеем

Переходя к безразмерной переменной как это сделано в § 4.5, обозначая получаем из (5.22) уравнение

в котором

Уравнение (5.23) неавтономной системы отличается от (4.155) автономной системы тем, что его правая часть является явной функцией времени, характеризующей внешнее воздействие. Как и

в случае автономного генератора ищем решение уравнения (5.23) в виде

считая медленно меняющимися функциями времени. Далее, как и в § 4.5, рассчитываем подставляем в (5.23) и, решая это уравнение совместно с (4.159), приходим к двум уравнениям, аналогичным

Предположение о медленном изменении и позволяет заменить скорости изменения в пределах периода колебаний их средними значениями, что приводит к укороченным уравнениям

в которых

При использовании в схеме рис. 5.7 резистивного НЭ с произвольной вольт-амперной характеристикой ток, протекающий через НЭ под действием напряжения (5.25), можно записать как а его производную как

Учитывая (5.28), получаем из (5.23) — (5.27) укороченные уравнения синхронизированного генератора:

где - средняя проводимость НЭ ого первой гармонике.

В стационарном режиме и из уравнений (5.29) получаем

Деля все слагаемые этих уравнений на и обозначая имеем

Исключая из (5.31) поочередно получаем уравнения амплитудно- и фазо-частотных характеристик

Рассмотрим подробнее синхронизацию генератора (рис. 5.7) на резистивном НЭ с вольт-амперной характеристикой

для которого Заметим, что в отсутствие внешнего воздействия амплитуда стационарных колебаний определяется согласно первому уравнению (5.30) из условия или Поэтому уравнение (5.32) можно записать как

или, обозначив , в виде

Вводя в в качестве переменных, характеризующих расстройку, амплитуду колебаний и амплитуду внешнего воздействия соответственно

получаем уравнение АЧХ синхронизированного генератора

а из (5.33) — уравнение ФЧХ генератора

Под АЧХ синхронизированного генератора обычно понимают зависимость квадрата относительной амплитуды колебаний от величины х, пропорциональной расстройке ; а под ФХЧ зависимость Уравнение (5.37) является кубический относительно у и квадратным относительно х. Поэтому удобно сначала рассчитать преобразовав (5.37) к виду

а затем построить обратную характеристику , поменяв местами оси координат. На рис. 5.8а построены зависимости для двух значений (большого и малого В точках пересечения характеристик На рис. строены зависимости для обоих значений с учетом того, что Извлекая квадратный корень из ординат этих зависимостей и меняя местами координатные оси, получаем частотные характеристики рис. 5.9.

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Частотные характеристики генератора при сильных внешних сигналах сходны с частотными характеристиками одиночного лебательного контура. При малых значениях они имеют иной вид и оказываются неоднозначными: одному значений х соответствуют три значения у. Амплитуда А и фаза стационарных колебаний синхронизированного генератора определяются в общем случае из уравнений и

Для исследования устойчивости стационарных режимов нужно предположить, что произошли небольшие отклонения амплитуды и фазы колебаний от стационарных значений подставить в (5.29), разложить их правые части по степеням и и ограничиться величинами первого порядка малости аналогично тому, как это было сделано при выводе (4.74). В результате получим уравнение вариаций, применяя к которому критерий Рауса-Гурвица приходим к условиям устойчивости

Здесь и — частные производные функций и соответственно по при стационарных значениях Для рассматриваемого конкретного случая (5.34) условия устойчивости (5.39) оказываются На рис. 5.9 области неустойчивых, т. е. нереализуемых, решений заштрихованы. Их границами являются горизонтальная линия, проведенная на уровне и эллипс с центром в точке и вертикальной полуосью, равной 1/3. Можно показать, что в точках этого эллипса касательные к частотным характеристикам вертикальны.