УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПО ЛЯПУНОВУ

Классический метод определения устойчивости был разработан в конце XIX в. выдающимся русским математиком М. А. Ляпуновым и с тех пор носит его имя. Определение устойчивости по Ляпунову состоит в следующем: состояние равновесия является устойчивым, если при любой заданной области допустимых отклонений от состояния равновесия (например, область вокруг точки равновесия 0 на рис. 4.15) можно указать область окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одно движение, начинающееся внутри никогда не достигнет границ области Иными словами, устойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что отклонение от этого состояния не превысит сколь угодно малой величины, если начальное возмущение достаточно мало. Если же возникающее малое отклонение с течением времени затухает, то такое состояние равновесия называется асимптотически устойчивым. Следовательно, если малые начальные отклонения приводят к возникновению достаточно малых периодических колебаний в системе, состояние равновесия считается устойчивым, но не асимптотически.

М. А. Ляпунов обосновал метод аналитического исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных цепей, заключающийся в замене характеристики нелинейного элемента касательной к ней, взятой вблизи исследуемого состояния. Рассмотрим метод Ляпунова для систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка.

Рис. 4.15

Рис. 4.16

Пусть некоторая система описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

где х может быть током, напряжением, зарядом. Состояниям равновесия системы соответствуют значения для которых. или

Для исследования устойчивости этих состояний будем считать

где малое отклонение от состояния равновесия. Подставляя в (4.62), получаем

поскольку величина постоянная. Правую часть (4.65) раскладываем в ряд Тейлора

Согласно Ляпунову ввиду малости ограничиваемся в выражении (4.66) первыми двумя слагаемыми. Подставляя их в (4.65), получаем с учетом (4.63) линейное уравнение первого приближения — уравнение вариаций:

Обозначив получим решение этого уравнения:

где С — постоянная интегрирования.

Если т. е. производная при положительна» будет нарастать, т. е. состояние равновесия окажется неустойчивым.

Если же то состояние равновесия при будет устойчивым. На рис. 4.16 построен трафик функции для которой равновесие имеет место в точках Остальные значения х изменяются во времени согласно (4.62): возрастают, если и уменьшаются, если Направления изменения координаты х отмечены стрелками. Из рис. 4.16 и выражения (4.68) следует, что состояния равновесия: устойчивое, и — неустойчивые.

Переходим к рассмотрению системы, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка или двумя уравнениями первого:

Состояния равновесия системы определяются координатами точек в которых производные или

Дадим х и у небольшие начальные отклонения от

Подставляем (4.71) в (4.69) и раскладываем правые части в ряд Тейлора

Здесь

Пренебрегая в (4.72) слагаемыми, имеющими множители в степенях выше первой (т. е. нелинейными членами), и принимая во внимание (4.70), получаем два линейных уравнения вариаций:

которые после несложных преобразований сводятся к одному линейному уравнению второго порядка относительно

или такого же относительно

Переписав это уравнение в виде

где мы можем для оценки устойчивости состояния равновесия использовать критерий Рауса — Гурвица.

Для иллюстрации метода Ляпунова рассмотрим вопрос об устойчивости состояний равновесия генератора на туннельном диоде. Принципиальная схема такого генератора для достаточно высоких частот (рис. 4.17а) состоит из туннельного диода индуктивности используемой для настройки генератора, сопротивления нагрузки и источника питания

Рис. 4.17

Переходя к расчету генератора, учтем, что источник питания обладает некоторым внутренним сопротивлением а туннельный диод заменим эквивалентной схемой (рис. 4.176), содержащей нелинейное сопротивление -перехода (его вольт-амперная характеристика приведена на рис. 4.18а), С — емкость -перехода, индуктивность выводов, сопротивление объема полупроводника, примыкающего с обеих сторон к -переходу.

Рис. 4.18

Приняв получаем эквивалентную схему генератора на ТД (рис. 4.186). С учетом обозначений рис. 4.186 составим уравнения:

откуда

Исключая из (4.77) и (4.78) одну переменную, получим нелинейное уравнение генератора на ТД

в котором В состоянии равновесия а потому согласно (4.77) и (4.78)

Токи и напряжения соответствующие возможным состояниям равновесия системы, должны удовлетворять обоим соотношениям, поэтому они могут быть определены, как показано на рис 4.18а, по точкам пересечения характе ристик (4.80). В общем случае получаем три состояния равновесия: в двух (точках В и С) нелинейный элемент обладает положительным дифференциальным сопротивлением, в одном (точка А) — отрицательным. Для оценки устойчивости этих состояний подставляем в (4.77) и (4.78), считая, что и удовлетворяют (4.80). Ограничиваясь в разложении для первыми двумя слагаемыми получим

Коэффициент является величиной, обратной дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке. Из (4.81) и (4.82) получаем уравнение вариаций

Уравнение (4.83) аналогично (4.75), причем

Согласно критерию Рауса—Гурвица состояние равновесия при является устойчивым, если

Состояния равновесия, соответствующие точкам В к С, являются устойчивыми, так как в них и условия (4 85) выполняются. Для определения тойчивости состояния равновесия в точке А, где удобно обозначить

и переписать условия (4.85) в виде

Условие (4.88) означает

Соотношение (4.89) называют условием устойчивости по постоянному току, так как его выполнение гарантирует сохранение рабочей точки на падающем участке, а нарушение приводит к переходу к другому состоянию равновесия Таким образом, для того чтобы рабочая точка находилась на падающем участке питаиие схемы необходимо осуществлять от источника напряжения, обладающего малым внутренним сопротивлением

Для переменного тока схема рис. 4.186 представляет параллельный колебательный контур с эквивалентным сопротивлением подключенный к нелинейному сопротивлению Перепишем (4.83) в виде

Условие устойчивости (4.87) можно записать как

Из уравнения (4.90) следует, что при выполнении условия устойчивости (4.89) колебания в генераторе затухают, если коэффициент при положительный, и нарастают, если отрицательный. Неравенство (4.91) является условием предотвращения нарастания колебаний в точке А, поэтому его называют условием устойчивости по переменному току.

В усилителях на ТД требуется обеспечить устойчивость состояния равновесия на падающем участке, т. е. выполнить условия устойчивости и по постоянному и по переменному токам. В генераторах нужно выполнить условие устойчивости по постоянному току (для того, чтобы рабочая точка находилась на падающем участке) и нарушить условие устойчивости по переменному току, тогда возникающее из-за действия флуктуаций колебание небольшой амплитуды будет нарастать.

Рассматривавшиеся до сих пор методы анализа и критерии устойчивости нелинейных устройств основываются на использовании укороченных линейных уравнений первого приближения [смотрите например, переход от уравнения (4.66) к (4.67)]. Возникает естественный вопрос, в каких случаях результат исследования устойчивости с помощью линеаризованных уравнений вариаций совпадает с результатами такого же исследования исходной нелинейной системы. А. Ляпуновым было доказано, что это имеет место в случаях, когда решение линеаризованных уравнений возмущения асимптотически устойчиво или неустойчиво. Если же решение линеаризованных уравнений приводит к устойчивости неасимптотической (например, к малым незатухающим колебаниям около состояния равновесия), для нелинейной системы такое решение может оказаться неверным, поскольку отбрасываемые при линеаризации выражений (4.66), (4.72) и других нелинейные члены высшего порядка малости приобретают теперь решающее значение.

Подтвердим сказанное примером. Пусть уравнения вариаций системы второго порядка имегот вид

где Будем рассматривать движение на плоскости Обозначим расстояние до начала координат. Умножая (4.92) на х, а (4.93) на у и складывая их почленно, получим уравнение Разделяя переменные и интегрируя от до полагая, что при этом расстояние изменяется от до получим

При что соответствует асимптотической устойчивости; при что означает неустойчивость состояния равновесия.

Если же линеаризовать правые части уравнений (4.92) и (4.93), получим или Корни соответствующего характеристического уравнения будут мнимыми (как для колебательного контура без потерь), что означает существование колебаний с постоянной амплитудой е. неасимптотическую устойчивость состояния равновесия. Как видим, в данном случае анализ устойчивости состояния равновесия нелинейной системы по линейным уравнениям первого приближения приводит к неверным результатам.