ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

М. А. Ляпуновым был предложен и другой метод анализа устойчивости состояния равновесия нелинейных систем, называемый прямым или вторым методом Ляпунова. Этот метод основан на формировании и рассмотрении специальных функций где х и у - небольшие отклонения (вариации) переменных от состояния равновесия, соответствующего Требования к функции

в некоторой области, окружающей начало координат, непрерывна вместе со всеми частными производными первого порядка;

в начале координат

во всех остальных точках этой области отличается от нуля и принимает значения одного знака.

Функция обладающая такими свойствами, называется знакоопределенной: определенно-положительной или определенноотрицательной. Функцию называют знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она также сохраняет в области постоянство знака, однако нулевые значения имеет не только в начале координат. Эти функции называют функциями Ляпунова.

Рассмотрим некоторые функции Функция

построенная на рис. 4.19а, является знакоопределенной (определенно-положительной): в точке равновесия а в любых других точках Функция построенная на рис. 4.196, знакопостоянна (положительна), но не знакоопределенна, так как не только в начале координат, но и в точках, где при иных значениях

Рис. 4.19

Обращаясь к знакоопределенным функциям, например к (4.95), можно заметить, что кривые где С — фиксированный параметр, являются замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, причем кривые с меньшими С располагаются ближе к началу координат. Используя эту особенность -функций, М. А. Ляпунов доказал теоремы [8].

Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию

производная которой была бы знакопостоянной функцией противоположного с V знака или тождественно равна нулю, то равновесие системы в начале координат устойчиво.

Теорема 2. Если же производная Является знакоопределенной функцией противоположного с V знака, то равновесие системы в начале координат асимптотически устойчиво.

Для иллюстрации этих теорем на рис. 4.20 построено несколько замкнутых кривых определенно-положительной функции для значений Аргументами функции являются отклонения х и у от состояния равновесия, которые изменяются во времени в соответствии с характером возмущенного движения. Поэтому и значения функций и ее производной также изменяются во времени.

Рис. 4.20

Пусть производная знакоопределенна и имеет противоположный с V знак, для рис. 4.20 она определенно-отрицательна Если в начальный момент -функция имела значение то за время она изменится на величину

Очевидно, В рассматриваемых условиях с течением времени функция V последовательно проходит через значения и вместе со своими компонентами приближается к началу координат (линия 1 на рис. 4.20), что означает асимптотическую устойчивость состояния равновесия.

Если же функция в рассматриваемом случае знакопостоянна (отрицательна), то в процессе уменьшения V, происходящем согласно (4.96), она может достичь значения при котором при Тогда дальнейшее уменьшение V функции, т. е. приближение к состоянию равновесия приостановится. Этому соответствует неасимптотическая устойчивость состояния равновесия и линия на рис. 4.20.

Прямой метод Ляпунова является исключительно эффективным методом исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем. Основной трудностью на пути его использования является отсутствие общего метода построения функций Ляпунова, хотя существует ряд приемов, пригодных для уравнений вариаций определенного типа.

Пример. Пусть возмущенное движение описывается уравнениями

с состоянием равновесия Линеаризация уравнений приводит к общему уравнению возмущенного движения с мнимыми корнями характеристического уравнения, что означает неасимптотическую устойчивость состояния равновесия линеаризованной системы и, как следствие, необходимость анализа устойчивости нелинеаризованиой системы.

Выберем знакопеременную (определенно-положительную) функцию Ляпунова вида

Производную по времени функции Ляпунова вычисляем как производную сложной функции

Используем (4.98) и

Производная оказалась знакоопределенной функцией противоположного с V знака — определенно-отрицательной. Следовательно, в силу упомянутой выше второй теоремы Ляпунова состояние равновесия нелинейной системы асимптотически устойчивое.