6.3. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ. УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ

Предположим, что в колебательном контуре емкость плоского конденсатора с площадью пластин меняется из-за изменения расстояния между пластинами I с частотой по закону

в результате чего

где Выражение (6.24) пригодно и для рассмотрения контура, емкость которого изменяется с помощью варикапа, поскольку изменение ширины запорного слоя в последнем в результате действия накачки эквивалентно изменению расстояния между пластинами.

Дифференциальное уравнение для тока в контуре рис. 6.1 имеет вид

Введем в качестве переменной заряд Определив ток как

подставляем (6.26) и (6.24) в (6.25). Получаем линейное дифференциальное уравнение с периодически изменяющимся коэффициентом

где В радиотехнике нередко встречается уравнение Матье

в котором о и некоторые постоянные, также являющееся линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическим коэффициентом, ибо при изменении на величину величина коэффициента при втором слагаемом принимает прежнее значение. Поскольку решения уравнения Матье известны, целесообразно преобразовать (6.27) в (6.28), чтобы воспользоваться для установления свойств рассматриваемой параметрической системы известными сведениями из теории уравнения Матье. Для этого вводим в (6.27) безразмерную переменную

Очевидно

Обозначаем далее и подставляем (6.30) и (6.29) в (6.27):

Введем обозначения: затухание контура

Величина характеризует отношение частот, а 26 при заданном - глубину модуляции параметра. Теперь (6.31) приобретает вид

Уравнение (6.33) отличается от (6.28) наличием слагаемого и совпадает с ним для контура без потерь Подстановка

позволяет исключить это слагаемое. Действительно, находя и вводя эти выражения в (6.33), получаем уравнение Матье (6.28), в котором

Из теории уравнения Матье известно, что его решение может быть представлено суммой двух линейно независимых решений

где произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий; и периодические функции с периодом или или соответственно с частотами или коэффициент, зависящий от величин который может быть мнимым или действительным.

Если действительная величина любого знака, амплитуда одного из слагаемых или неограниченно возрастает. Следовательно, условие самовозбуждения параметрического контура без потерь можно записать как

На рис. 6.5 на плоскости построены области неустойчивости, внутри которых коэффициент имеет действительные значения, причем с удалением от границ внутрь области величина возрастает. Границам областей соответствует Области неустойчивости стягиваются к точкам оси абсцисс, в которых где По величине принято нумеровать области неустойчивости. Если параметры уравнения (6.28) соответствуют какой-либо из областей неустойчивости, имеет место

самовозбуждение колебаний. В точках, расположенных вне этих областей, коэффициент оказывается мнимым, при этом колебания не нарастают. Характер областей одинаков при поэтому области неустойчивости в нижней полуплоскости опущены.

Рис. 6.5

Параметрическое возбуждение в контуре без потерь возможно при сколь угодно малых значениях (а значит, и на частотах, на которых Поскольку согласно (6.35) это имеет место при

Следовательно, согласно рис. 6.5 параметрическое возбуждение можно осуществлять, изменяя параметр с частотой Для контура с потерями согласно (6.34) и (6.36)

и один из показателей экспоненты будет положительным только в том случае, если величина действительная и притом такая, что

Рис. 6.6

Области неустойчивости для (6.33) ограничиваются пороговыми кривыми Эти кривые находятся внутри областей причем в областях, соответствующих большим значениям их низшие точки соответствуют большим которые будем обозначать далее Сказанное иллюстрируется пунктирными линиями рис. 6.5, ограничивающими области возбуждения для и рис. 6.6, на котором приведены границы областей возбуждения первой зоны для нескольких значений Координаты нижних точек, вычисленные для нескольких областей неустойчивости в предположении небольших

приведены в табл. 6.1. При оценке условий самовозбуждения полагаем

Таблица 6.1

Для обычно применяемых контуров с затуханием можно приближенно считать

а йеличины согласно (6.32)

Теперь условие параметрического возбуждения в низших точках областей неустойчивости оказывается

или

В этих выражениях подсчитываются по формулам табл. 6.1, полагая Например, для первой зоны

Ранее эта формула была получена из энергетических расчетов. Характеристики рис. 6.6 называются пороговыми, поскольку они определяют зависимость от расстройки.

В табл. 6.2 указаны: частоты накачки сон, соответствующие низшим точкам областей неустойчивости, выражения для полученные из (6.44), и результаты расчета по ним величины

Таблица 6.2

для контура с затуханием Из формул и расчетов следует, что возбуждение колебаний в высших зонах требует существенного увеличения глубины модуляции параметра. Зависимость от затухания пропорциональна VI. По этой причине на практике используется возбуждение в первой зоне. В последующем рассматривается только этот случай.

Из рис. 6.6 видно, что осуществление параметрического возбуждения при отклонениях частоты накачки сон от оптимального значения, близкого к требует увеличения глубины модуляции параметра. Причина этого, как показывают расчеты, состоит в том, что только при фаза параметрически возбуждаемых колебаний выражение (6.17)] оказывается оптимальной

благодаря чему вносимое в контур отрицательное сопротивление максимально (6.18). При отклонении Юн от фазовые соотношения изменяются, уменьшается и для достижения прежнего значения требуется увеличивать глубину модуляции параметра.

Параметрический генератор, в котором возникают колебания с частотой является делителем частоты в 2 раза. В соответствии с общим правилом, сформулированным в § 5.6, ему свойственна двузначность фазы возникающих колебаний. При согласно